Хавьер Фресан - Мир математики - m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

Повороты, оставляющие треугольник неизменным.

Мы описали все возможные виды симметрии (S, RS и SR) и все повороты (I, R, R 2). Преобразования, оставляющие треугольник неизменным, определяются тем, как они меняют порядок его вершин. Так как поменять вершины треугольника местами можно всего шестью способами, мы описали все преобразования, обладающие этим свойством. Мы знаем, каковы результаты R и S, но не знаем, что получится, если мы применим сначала поворот R, а затем симметрию RS.

48

Преобразование (RS) R.

Как видите, при композиции этих преобразований порядок следования вершин меняется с 1—2—3 на 1—3—2. Таким же будет порядок вершин и при симметрии S, значит, (RS)R = S.

ЛЕВИ-СТРОСС: А что означают скобки?

ВЕЙЛЬ: Скобки указывают, в каком порядке выполняется композиция преобразований. Обратите внимание, что запись RSR априори неоднозначна: следует ли выполнить сначала преобразование R, а затем RS, как мы только что сделали, или же применить сначала SR, а затем R? В первом случае запишем (RS)R, во втором — R(SR). Результаты этих преобразований могут отличаться. Рассмотрим в качестве примера вычитание натуральных чисел. Результаты

7 - (5 - 3) = 7 - 2 = 5

и

(7 - 5) - 3 = 2 - 3 = -1

отличаются, и здесь крайне важно, как располагаются скобки. Впрочем, нам повезло: преобразования (RS)R и R(SR) совпадают.

Преобразования R(SR) и (RS)R совпадают.

ЛЕВИ-СТРОСС: Столько информации! У меня голова идет кругом!

ВЕЙЛЬ: Неудивительно. Предлагаю вам представить результаты в «таблице умножения», подобной той, что мы учили в школе. В каждой клетке запишем композицию преобразований, указанных в соответствующей строке и столбце. Первой всегда будет преобразование, указанное в столбце, как показано стрелкой.

49

Пока что я записал в таблице только те преобразования, результат которых мы уже знаем: композицией любого преобразования и тождества будет исходное преобразование, RSR = S, a R 3= S 2= I. Эти результаты позволяют нам найти результат, например SRSR. Так как мы можем расставить скобки произвольным образом, получим: SRSR = S(RSR). Согласно приведенным выше равенствам, RSR = S, следовательно, SRSR= SS = S 2— это тождественное преобразование, так как порядок симметрии S равен двум. Следовательно, SRSR = I. Но таблица еще не закончена. Не хватает еще нескольких композиций, в частности SRS. Чтобы определить ее результат, напомню, что RSR = S. Если приписать в обе части равенства R 2, получим R 2RSR = R 2S. Мы знаем, что R 2R = R 3= I, следовательно, SR = R 2S.

Мы получили еще одну композицию, результат которой известен. Мы по-прежнему можем приписать S в обе части равенства, на этот раз — справа. Получим SRS = R 2S 2, но так как S 2= I, имеем SRS = R 2. Добавим результаты в таблицу.

Но таблица все еще не закончена: не хватает композиций R 2SR, SR 2, RSR 2, RSRS и SR 2S. Их результаты можно получить на основе тех, что приведены выше — попробуйте сами! К примеру, R 2SR совпадает с R(RSR). Но мы знаем, что RSR = S, следовательно, R 2SR = RS. Аналогично:

SR 2=(SR)R=(R 2S)R=R(RSR)=RS,

50

ведь мы уже доказали, что SR = R2S. Я уже провел самые сложные вычисления, и все остальные расчеты вы можете выполнить самостоятельно. Попробуйте и поймете, удалось ли вам понять описанный метод. Как бы то ни было, важно, что эта таблица содержит всю информацию о множестве преобразований, оставляющих треугольник неизменным: что это за преобразования, каковы их композиции, какой порядок они имеют (то есть сколько раз их нужно выполнить последовательно, чтобы получить тождественное преобразование).

Таблица преобразований треугольника.

ЛЕВИ-СТРОСС: Господин Вейль, возможно, это прозвучит глупо, но пока вы заполняли таблицу, я вспомнил «Меланхолию I» Дюрера, одну из трех его «Мастерских гравюр», где изображена крылатая фигура, погруженная в раздумья о геометрии. Как вам известно, на гравюре можно видеть магический квадрат. Сумма чисел во всех его строках, столбцах, а также на диагоналях и некоторых других линиях одинакова и равна 34. Имеет ли этот магический квадрат что-то общее с вашими таблицами умножения?