Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

Первым, кто смог связать касательные и площади, дифференцирование и интегрирование, а главное, прописать четкие законы этих процессов на основе уже имевшихся многочисленных алгоритмов, был немецкий математик и физик Готфрид Лейбниц (1646–1716). Именно он придумал значок интегрирования ∫ — от буквы S , символизирующей суть такого исчисления: summa . А еще сформулировал основную теорему математического анализа, которую независимо от него вывел автор законов движения и всемирного тяготения — Исаак Ньютон. Согласно этой теореме, чтобы найти площадь между графиком функции и определенным отрезком абсциссы, нужно вычислить разность двух крайних значений первообразной, которые соответствуют концу и началу заданного отрезка. Само слово «интеграл» (что значит «восстановленный, целый») принадлежит швейцарскомуматематику Якобу Бернулли, а «интегральное исчисление» — его младшему брату Иоганну.

В XIX в. изучением возможностей интегрирования и дифференцирования, объединенных в анализ бесконечно малых, занимались французские математики Огюстен-Луи Коши и Анри Лебег, немецкий ученый Бернгард Риман и другие. Последний изобрел собственный метод интегрирования, который на примере можно описать так: если вам на голову вдруг свалился мешок денег и вы хотите узнать точную сумму, сначала рассортируйте их по номиналу (например, стопка купюр в одну гривну, в две гривны, пять, десять, двадцать и т. д.), затем посчитайте количество купюр в каждой пачке, умножьте каждое число на соответствующий номинал и сложите все значения.

Очевидно, что интеграл и дифференциал, открытые в XVII в., значительно облегчили многие виды задач на вычисление, повысили точность расчетов и позволили отслеживать малейшие изменения любых жизненных процессов.

История создания этой теоремы вовсе не так богата и увлекательна, как история ее доказательств. Суть теоремы в том, что сумма чисел в энной степени (превышающей 2) может дать результат в такой же степени лишь тогда, когда все элементы головоломки не натуральные. В XVII в. об этом заявил француз Пьер Ферма (1601–1665) — юрист по образованию и математик по призванию. А идею ему подбросил… Пифагор. В VI в. до н. э. греческий математик нашел подобную закономерность, только для второй степени: если квадраты двух чисел в сумме дают еще одно число в квадрате, то все эти числа натуральные, и первые два составляют длины катетов прямоугольного треугольника, а третье — гипотенузы.

Правда, теорема Пифагора доказывалась относительно просто, чего не скажешь о теореме Ферма. И хотя он уверял, будто нашел невероятное и очень многословное доказательство (по крайней мере, об этом говорят заметки на полях его любимой книги «Арифметика», написанной в III в. Диофантом Александрийским), никто никогда этого доказательства не слышал. Зато сразу после обнародования теоремы всем захотелось придумать ей собственное обоснование — каждый студент, каждый любитель математики, не говоря уже о специалистах, пытался разгадать формулу Ферма, но та не поддавалась. Разнообразные эксперименты с подстановкой чисел подтверждали справедливость выводов французского ученого, вот только общий алгоритм никак не складывался. Из-за этого теорема получила титулы Великой и Большой.

Между тем Ферма вывел еще одну теорему — Малую: если целое c не делится на простое p (простое число можно делить только на 1 или на само это число), то нужно возвести его в степень р-1, отнять 1 — и деление пройдет как по маслу. Из данного утверждения ученый вывел интересное предположение: сумма единицы и числа 2 в двойной степени, состоящей из двойки в энной степени, представляет собой простое число.

Через 100 лет немецко-швейцарский математик Леонард Эйлер успешно доказал Малую теорему, а вот с вытекающей из нее гипотезой сложилось далеко не так гладко. Эйлер обнаружил, что при возведении числа 2 в степень 25 и прибавлении единицы получается десятизначное число, которое делится не только на себя или единицу, но и на 641. Увы, Большую теорему Эйлеру удалось доказать лишь для третьей и четвертой степеней, а его коллегам — французу Адриену Мари Лежандру и немцу Иоганну Дирихле — для пятой и седьмой соответственно.

Дошло до того, что в 1908 г. один известный немецкий ученый-предприниматель посулил в завещании круглую сумму тому человеку, которому хватит сообразительности доказать теорему целиком. Разумеется, как только щедрый немец ушел в мир иной, Академия наук, где он трудился, была завалена письмами: выполнить условия завещания пытались все кому не лень. Однако маститые академики всюду находили просчеты, и фермисты (такое прозвище заработали «фанаты» Ферма, помешанные на его теореме) не получали ничего, кроме шаблонной отписки: мол, здравствуйте, у вас на странице такой-то обнаружена ошибка такая-то. Тем временем «профессиональные» математики тоже не сидели сложа руки — доказывали теорему для сотой и 619-й степеней, но все равно универсальных доводов не находили.