Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

В III в. до н. э. знаменитый Архимед отшлифовал и упростил данный алгоритм. Это позволило ему вычислять размеры разных сегментов параболы (участков внутри кривой, которые получаются при ее пересечении прямой), габариты шара и эллипсоида (тела, образованного поверхностью вращающегося эллипса, — то есть как бы эллипса в 3D), а также шара, вписанного в цилиндр. Более того, ученый вывел формулу площади круга: квадрат радиуса, умноженный на число «пи», — и даже уточнил само значение «пи»: больше 3 ¹ ⁰⁄ ₇₁ и меньше 3 ¹⁰⁄₇₀.

Другой известный эллин — философ Демокрит (460―370 до н. э.), создал собственную методику расчета площадей нестандартных фигур, которая оказалась еще ближе к интегрированию, нежели способ Евдокса и Архимеда. Суть метода была в сложении максимально большого количества минимальных площадей. К примеру, при вычислении размеров трапеции с искривленной верхней стороной Демокрит делил фигуру на множество вертикальных отрезков, прочерчивая их так часто, как только мог. Затем рассчитывал площадь полосок между каждой соседней парой отрезков и суммировал все результаты. Элементарные площади были настолько малыми, что философ приравнивал их к нулям, признавая, однако, их исключительность, ведь в массе своей они являли не ноль, а положительное, подчас даже большое число.

На рубеже XVI–XVII вв. многие ученые принялись развивать идеи античных мыслителей. Так, астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) находил способом Демокрита площади эллипсов, а также размеры разных объемных предметов. Несложно догадаться, что второе предусматривало разрезание объектов измерения на узенькие кубоиды с помощью тонких-претонких пластинок. Основываясь на опыте Кеплера, итальянец Бонавентура Кавальери вывел правило для определения размеров любых фигур: если параллельные прямые пересекают две фигуры так, что получаются отрезки равной длины либо сечения одинаковой площади, то данные фигуры по габаритам равноценны.

В 1629 г. француз Пьер Ферма догадался, как можно вычислять площадь под параболами, гиперболами и прочими кривыми в системе координат. Метод, которым он пользовался, — сложение энного числа минимальных составных площадей — оказался эффективным еще и для определения центра тяжести тел.

Вообще, каждый математик предлагал свой способ решения конкретной задачи, однако систематизировать эти методы и создать на их основе некий универсальный алгоритм никому и в голову не приходило.

Не думали ученые и о том, что задачи, предполагающие проведение касательных, как-то связаны с нахождением площадей. Да, в XVII в. уже знали, что касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу. И даже умели чертить касательные к более извилистым кривым — для этого следовало провести прямую через две ближайшие точки кривой. Но о том, что такое умение может помочь в определении, например, изменений скорости на минимальных отрезках пути или температуры воздуха за минимальные временные периоды, долгое время не догадывались.

Лишь к середине столетия ученых осенило: а ведь упражнения с касательными — это обратная сторона поиска площадей под кривыми. Точки кривой (в частности, графика функции), через которые проходит касательная, указывают на изменение какого-либо процесса за бесконечно малый промежуток времени, а площадь под этой кривой демонстрирует общий результат процесса и складывается из множества минимальных изменений. Путешествуя, мы можем фиксировать скорость движения с интервалом, скажем, в полчаса. Это позволит нам построить график изменения скорости со временем и узнать, как она уменьшалась либо увеличивалась на каждом минимальном отрезке пути за каждый минимальный временной период. Нужно только провести луч через две точки кривой, расположенные так близко одна к другой, что прямая пройдет по касательной. Угол между лучом и горизонтальной осью покажет элементарное изменение скорости (производную). Проделаем эту операцию на всем участке кривой, соответствующем продолжительности путешествия, отмеченной на горизонтали, — то есть дифференцируем функцию. А потом определим полное пройденное расстояние: проведем из каждой точки, обозначенной на кривой, перпендикуляры к временной оси. Вычислим площадь каждой узенькой полоски между отрезками и сложим все значения. Так мы интегрируем функцию. Если построить еще один график по точкам, отображающим показатели мгновенных изменений, то получится производная функция. А ее «прародительница» станет первообразной.