Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

В ХХ в. от теории вероятностей «отпочковалась» теория игр, направленная на выбор лучшей стратегии в любой игре, будь то рыночная конкуренция, отношения начальника и подчиненных, учителя и учеников, следователя и обвиняемых, в конце концов, участников спортивных состязаний. При этом учитывалось, что каждый участник отстаивает собственные интересы, у каждого имеется свой план А, план Б и т. д., а значит, чтобы выбрать оптимальный путь, нужно не только ориентироваться на самый лакомый кусок для себя, но и иметь в виду действия противника, который хочет того же.

В 1948–1949 гг. американский студент Джон Форбс Нэш написал диссертацию на тему равновесия в некооперативных играх — отношениях, участники которых имеют общую цель, но не могут объединиться ради ее достижения. Собственно, равновесие Нэша предполагало, что никто не выиграет, если будет думать только о себе.

Для наглядного примера ученый описал ситуацию, когда двое преступников, арестованных одновременно за схожие злодеяния, получают возможность либо молчать, либо выдвинуть обвинение друг против друга. В первом случае каждый получит по шесть месяцев; в случае обоюдного обвинения и тому, и другому грозят два года заключения; а если свидетельствовать будет только один из них, то его выпустят, а обвиненного посадят на десять лет. Рассудив, что шесть месяцев — лучше, чем два года (или, не дай бог, десять лет), каждый подозреваемый, скорее всего, пожертвует призрачной свободой и смолчит.

В экономике тот же принцип влияет на цены. Казалось бы, любому бизнесмену выгодно установить высокую цену на свой товар, но он знает, что клиенты пойдут туда, где дешевле, поэтому будет удерживать некую оптимальную среднюю стоимость. Так происходит негласный сговор о ценовой политике.

Можно сказать, посредством теории вероятностей/игр Нэш математически установил баланс личной и общей выгоды, сформулировал правила торговых сделок, разработал законы конкуренции.

Кажется удивительным, что представление о числовых множествах появилось лишь в позапрошлом столетии — через два века после открытия функций, интегрирования и дифференцирования. Неужто до того никто не подозревал, что числа могут выстраиваться в длинные ряды? Ведь разные виды комбинаций цифр были известны человечеству задолго до нашей эры благодаря вавилонским, греческим и индийским мудрецам…

Нет, на самом деле бесконечные числовые цепочки в сознании наших предков присутствовали — но это были множества особого рода, не ограниченные в росте. То есть потенциальные. В то, что существуют и другие множества, с определенным количеством составляющих, а значит, стабильные (или актуальные), никто верить не хотел. Даже именитый немецкий математик Карл Гаусс категорично заявлял: не оскверняйте математику внедрением бессмысленной кучи чисел. Впрочем, если «конечную бесконечность» просто игнорировали, то потенциальную обзывали дурной и всячески унижали. Например, ряды чисел, безудержно стремящихся к нулю и очень полезных при интегрировании — вычислении площади, объема, скорости и пр. по сумме мельчайших составляющих, — ученые пытались как-то обуздать и приписать им конечные значения.

Все это крайне возмущало другого математика из Германии — Георга Кантора (1845–1918). Он полагал, что нельзя затискивать бесконечно малые величины в какие-то рамки — в этом нет смысла, ведь именно стремление таких чисел к нулю позволяет предельно точно рассчитывать изменения разных показателей и отображать взаимосвязи всяческих процессов. Но поскольку подобные множества, несмотря на огромный потенциал, слишком неопределенные — поди узнай, куда они могут скакнуть, — им нужны более надежные, близкие к реальности, актуальные собратья.

Вообще, что такое множество? Кантор говорил, это нечто целое, объединяющее в себе с той или иной закономерностью большое количество вещей, которые мы видим или о которых думаем. Потенциальное множество — конечный, но безмерно растущий показатель — существует лишь в нашей голове и само по себе ничего не означает. Его миссия — отображать, как меняются одни процессы в зависимости от других, а помогают ему в этом дифференциалы и интегралы, открытые Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем. Другой вид множества (актуальную бесконечность) Кантор представлял точкой, которая на плоскости безгранично отдалена от других точек, расположенных «в поле зрения». Если попробовать построить график функции в окрестностях этой точки, то его вид будет точно таким, как в зоне обычных величин. Значит, рассуждал ученый, актуальное множество являет собой ограниченное, неизменное количество, которое тем не менеебольше всех мыслимых конечных величин.