Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

Идеальный пример такого множества — все точки окружности. Их количество фиксировано — раз; неизменно — два; бессчетно — три. В сфере, которая состоит из бесконечного множества точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центральной, и заполнена бесконечным множеством точек, ученый различил два вида актуальных множеств. Одно (сверхконечное) еще можно увеличить, а другое (абсолютное) увеличению не поддается, потому для работы неудобно. Так что математики предпочитают иметь дело только со сверхконечными множествами.

Кроме того, Кантор подметил, что бесконечные целые числа очень похожи на ту точку в плоской системе координат, которая очень сильно отдалена от обычных точек с конечными значениями. Эти числа так же далеки от конечных, только, в отличие от точки, их много — целый ряд! И не найдется среди них ни пары одинаковых, а стоят они, выстроившись в определенной последовательности, подчиненной строгим законам. Потому-то их множество нельзя назвать потенциальным — оно актуальное, и его можно разделить на классы: в первом классе сидят конечные значения, во втором — бесконечные одного рода, в третьем — бесконечные другого рода и т. д.

И что интересно, каждый ряд, каждое множество, хоть конечное, хоть бесконечное, отличается определенной мощностью, которая измеряется по количеству элементов множества. Но если с конечными рядами все более-менее понятно: посчитал все числа, и готово, — то с бесконечными возникают некоторые трудности. Просто посчитать его элементы не получится! Поэтому Кантор предложил использовать метод сопоставления: если каждому элементу одного множества можно подобрать пару в другом множестве, то эти ряды одинаково мощные. Если же в одном множестве наберется элементов только на часть другого множества (то есть после того, как множества разобьются на пары, во втором останутся одинокие элементы), значит, второе явно мощнее. И чем больше классов в ряду, тем выше его мощность. (Кстати, расчеты ученого показали нечто фантастическое: множества точек на прямом отрезке и на периметре квадрата имеют равную мощность, каким бы коротким ни был отрезок и каким бы большим ни казался квадрат.)

А как насчет сложения самих чисел? Вычислить сумму элементов конечного ряда — не хитрость, но можно найти ее и в бесконечном ряду. Там все зависит от последовательности элементов: скажем, странные ряды вроде (1 + 1 ‒ 1 + 1…) и (1 + 2 ‒ 3 + 4…) суммируются по среднему арифметическому начальных элементов. А привычный (1 + 2 + 3…) заставит проделать несколько сложных операций и выдаст в итоге ‒¹⁄₁₂.

Все эти наблюдения позволили Кантору ввести понятие упорядоченного множества, где все элементы расположены в обозначенном заранее порядке, за первым, начальным числом следует второе, определенное изначально, и такой же последователь прикреплен к каждому элементу. Если множество упорядочить, то числа в нем будут подчиняться законам, общим абсолютно для всех целых чисел, и с ними можно будет выполнять те же операции. Что касается внутренней сути актуальных бесконечных множеств, то, по мнению ученого, они имеют двойную связь с реальностью. С одной стороны, множества связаны с миром идей в нашей голове: мы сами приписываем числам какие-то свойства, распределяем на категории, придумываем с ними разные действия. С другой стороны, числовые множества отображают разнообразные процессы и взаимоотношения внешнего мира (взятьхотя бы графики функций), к тому же материальные объекты объединяются с рядами чисел понятием мощности.

Работа Кантора, посвященная теории множеств, вышла в 1877 г., а в 1902 г. его современник, немец Готлиб Фреге (1848–1925), опубликовал собственный труд на эту тему. Фреге пытался разработать такую систему, в которой не было бы противоречий, — такую, которая могла бы стать надежной опорой для всей математики. Но… Когда книгу уже печатали, ученый получил письмо от британского коллеги Бертрана Рассела (1872–1970), указавшего ему на явный промах. В системе Фреге можно было строить множества всех множеств, а это значило, что числовой ряд должен включать себя в себя. Скажем, толпа детей — это обычное множество, поскольку один ребенок не являет собой толпы. Но если столпотворение по условию должно складываться из всех толп мира, то и ему следует присутствовать в собственном составе. Вот эту нестыковку и нашел Рассел, о чем известил Фреге, проиллюстрировав свои претензии наглядными примерами.

Представим, будто в городке живет цирюльник, который бреет лишь тех, кто не бреется сам. Если он бреется сам, то не может брить себя. Если не бреется сам, то просто обязан брить себя. А человек, заявляющий «Я вру», лжет — значит, говорит правду, но тогда его утверждение не может быть ложным. Вот такие парадоксы. Еще один пример Рассел выискал в романе «Жизнь и мнения Тристрама Шенди», написанном Лоренсом Стерном. Герой этого произведения жалуется на то, что никогда не сможет дописать свою биографию, так как за год успевает изложить события всего одного дня. Это, конечно, соответствует здравому смыслу, рассуждал Рассел, однако противоречит теории множеств. Ведь если бы герой жил вечно, количество прожитых лет не уступало бы числу дней — между днями и годами установилось бы парное равновесие, и мощность двух бесконечных рядов сравнялась бы.