Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

где r – радиус шарика, ν – число полных оборотов катящегося шарика в секунду, а ζ – величина, которая зависит от распределения массы внутри самого шарика и его формы. Применительно к экспериментам Галилея, который, скорее всего, использовал сплошные твердые шары, значение ζ = 2/5 (для пустотелого шара, например, ζ = 2/3). Теперь заметим, что, когда шарик совершает один полный оборот, он проходит расстояние, равное длине его окружности 2 πr , поэтому в течение времени t , за которое он совершает ν t оборотов, полное пройденное расстояние составляет d = 2 πr ν t , и значит, его скорость равняется d / t = 2 π ν r . Подставляя это выражение в формулу энергии вращательного движения, получаем:

Поделив обе части на m и на 1 + ζ, используем закон сохранения энергии и получим уравнение:

Это та же самая зависимость между скоростью и перепадом высоты d = h 0 – h , которая справедлива и для свободно падающего тела, с тем лишь отличием, что g заменяется на g /(1 + ζ). Если эту замену не учитывать, зависимость скорости шарика, катящегося вниз по наклонной плоскости, от проходимого перепада высоты та же самая, что и для тела в свободном падении. Это означает, что, изучая скатывание шаров по наклонной плоскости, можно доказать, что и свободно падающие тела движутся равноускоренно. Однако таким образом нельзя рассчитать ускорение, если не учитывать реальное значение коэффициента 1/(1 + ζ).

Путем сложных доказательств Гюйгенс сумел выразить время, которое требуется маятнику длины L , чтобы переместиться с одной стороны на другую с небольшим углом, равенством:

Полученный Гюйгенсом результат означал, что это время в π раз больше, чем то время, которое нужно падающему телу, чтобы пройти расстояние d = L /2.

Предположим, что пулю или снаряд выстреливают горизонтально со скоростью v . Если не учитывать сопротивление воздуха, пуля будет продолжать лететь горизонтально с одной и той же скоростью и одновременно двигаться равноускоренно вертикально вниз. Поэтому спустя время t после выстрела она пролетит расстояние по горизонтали x = vt и потеряет высоту z , пропорциональную квадрату времени. Принято выражать это формулой z = gt ²/2, где g = 9,8 м/с за секунду – эту константу измерил Гюйгенс уже после кончины Галилео Галилея. Поскольку t = x / v , значит:

График значений этого уравнения, в котором одна координата пропорциональна квадрату другой, имеет вид параболы.

Обратите внимание, что если ружье было расположено на высоте h над землей, то пуля пролетит по горизонтали расстояние √(2 v ² h / g ) до того, как упадет на землю в момент, когда вертикальный перепад высоты z сравняется с h . Даже не зная значений v или g , Галилей мог убедиться, что путь, проходимый пулей, представляет собой параболу, измеряя расстояния d для различных начальных высот ствола ружья h и проверяя, что d всегда остается пропорциональным квадратному корню из h . Неизвестно, проделывал ли Галилей такие эксперименты на самом деле, но есть свидетельства, что в 1608 г. он провел близкий по смыслу эксперимент, о котором мы кратко говорили в главе 12. В нем шарик скатывался по наклонной плоскости на стол с различных начальных высот H , затем свободно катился по оставшейся горизонтальной поверхности стола и, наконец, слетал с его края. Как показано в техническом замечании 25, скорость шарика в момент достижения им нижней точки наклонной плоскости равна:

где g – обычное значение 9,8 м/с за секунду, а ζ – отношение энергии вращения шарика к его кинетической энергии, постоянная, зависящая от распределения массы внутри катящегося шарика. Для твердотельного шара равномерной плотности ζ = 2/5. Ту же самую скорость шарик имеет и в тот момент, когда соскакивает с края стола, поэтому горизонтальное расстояние, которое шарик после этого пролетит за то время, которое ему потребуется, чтобы упасть на глубину h , будет равно: