Jose Santonja - Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.

Древнегреческие математики должны были доказывать свои рассуждения исчерпывающе, не оставляя возможности для каких-либо лазеек. К такому подходу математика вновь обратилась только в XIX веке, и именно благодаря ему древнегреческие работы были настолько совершенны, что невозможно было понять, как получались столь удивительные результаты. Считалось, что определенную роль сыграла изобретательность древнегреческих ученых, некая счастливая мысль, которая помогала им прежде прийти к заключению, а уже потом исчерпывающим образом его доказать. Многие математики начиная с эпохи Возрождения были убеждены в том, что ученые Древней Греции владели каким-то секретным методом. Это видно из следующего комментария Декарта:

"Так же как многие ремесленники скрывают секрет своих изобретений, Папп и Диофант, возможно опасаясь, что из-за простоты и легкости своего метода он потеряет ценность, предпочли, чтобы вызвать всеобщее восхищение, представить нам плод своей деятельности как чистую истину, очень тонко выведенную, вместо того чтобы показать метод, которым пользовались".

Палимпсест — это текст, написанный на пергаменте поверх другого текста. Благодаря такой рукописи мы знаем одно из самых важных сочинений Архимеда. Многие работы гения из Сиракуз сохранились для потомков благодаря арабским и латинским копиям. Однако математикам XVI века хотелось понять, каким методом он пользовался, чтобы прийти к своим открытиям. Книги ученого содержали схематические и полные доказательства, но было неизвестно, как он пришел к этим результатам до того, как их доказать. Думали, что у него не было никакого метода открытия своих блестящих идей, а если и был, то он не оставил его для потомков.

В 1906 году датский филолог Йохан Людвиг Гейберг получил новость о палимпсесте математического содержания, хранящемся в монастыре в Константинополе. При помощи фототехники ему удалось скопировать оригинальный спрятанный текст, и то, что он обнаружил, оказалось сочинениями Архимеда. Оригинальный текст — это копия некоторых работ древнегреческого ученого, сделанная в X веке. Поверх него впоследствии были нанесены религиозные тексты. Большинство из найденных работ Архимеда были известны, но среди них также обнаружена единственная известная копия сочинения "О механическом методе доказательства теорем", более известного как "Метод". Данная работа — письмо Архимеда Эратосфену, в нем ученый объясняет метод получения результатов, которые потом он доказывал с максимальной строгостью. При этом Архимед пользуется смесью рассуждений о бесконечно малых и механики для нахождения площадей и объемов. Многие из идей, изложенных в этой работе, появились в математике только через две тысячи лет, в XVII веке. В целом считают, что если бы "Метод" стал известен вместе с прочими сочинениями Архимеда, анализ бесконечно малых был бы создан намного раньше.

Наибольшего расцвета в области вычислений математика добилась в александрийскую эпоху, когда такие математики, как Архимед, Эратосфен и Гиппарх, получили много результатов вычисления длин кривых, площадей и объемов разных фигур. Тем не менее в течение еще многих веков говорили о квадратуре, если речь шла о площади, и о кубатуре для объема. Согласно Паппу, александрийскому математику III—IV веков, кривые можно классифицировать следующим образом.

— Плоские, которые строятся из прямых и окружностей.

— Конические, которые состоят из точек конуса.

— Линейные, то есть все остальные кривые, которые невозможно создать предыдущими методами, такие как спирали, конхоиды, циссоиды и так далее. Эти кривые обычно не рассматривали.

Многие греческие математики были предшественниками современного математического анализа. Например, Папп упоминал математика Зенодора, который в своей книге об изопериметрических фигурах выводил следующие теоремы.

— Среди многоугольников с п сторонами одинакового периметра правильный многоугольник имеет наибольшую площадь.

— Среди правильных многоугольников одинакового периметра тот, у которого больше сторон, имеет наибольшую площадь.

— У круга — большая площадь, чем у правильного многоугольника того же периметра.

— Из всех твердых тел одинаковой площади поверхности наибольший объем — у шара.