Ричард Фейнман - 8. Квантовая механика I

Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния c и j с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1). Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний.

§ 2. Разложение векторов состояний

Посмотрим на уравнение (6.8) еще раз; его можно рассмат­ривать следующим образом. Любой вектор состояния |j> может быть представлен в виде линейной комбинации совокуп­ности базисных «векторов» с подходящими коэффициентами, или, если угодно, в виде суперпозиции «единичных векторов» в подходящих пропорциях. Чтобы подчеркнуть, что коэффи­циенты < i |j> — это просто обычные (комплексные) числа, на­пишем

< i |j>= С i . Тогда (6.8) совпадает с

Такое же уравнение можно написать и для всякого другого вектора состояния, скажем для |c>, но, конечно, с другими коэффициентами, скажем с D i . Тогда будем иметь

где D i — это просто амплитуды < i |c>.

Представим, что мы начали бы с того, что в (6.1) абстра­гировались бы от j. Тогда мы бы имели

Вспоминая, что i >=< i |c>*, можно записать это в виде

А теперь интересно вот что: чтобы обратно получить , можно просто перемножить (6.13) и (6.10). Только, делая это, надо быть внимательным к индексам суммирования, потому что они в разных уравнениях разные. Перепишем сперва (6.13):

Это ничего не меняет. Объединяя с (6.10), получаем

Вспомните, однако, что i >=d ij, так что в сумме останутся только члены с j=i. Выйдет

где, как вы помните, d* i =< i |c>*=i >, а C i =. Опять мы являемся свидетелями тесной аналогии со скалярным произведением

Единственная разница — что D i нужно комплексно сопрягать. Значит, (6.15) утверждает, что если разложить векторы со­стояний по базисным векторам < i| или | i ), то ампли­туда перехода из j в c дается своего рода скалярным произве­дением (6.15). А это просто (6.1), записанное в других символах. Мы ходим по кругу, привыкая к новым символам.

Может быть, стоит подчеркнуть, что в то время, как про­странственные трехмерные векторы выражаются через три ортогональных единичных вектора, базисные векторы | i > квантовомеханических состояний должны пробегать всю совокуп­ность, отвечающую данной задаче. В зависимости от положения вещей в нее может входить два или три, пять или бесконечно много базисных состояний.

Мы говорили также о том, что происходит, когда частицы проходят через прибор. Если мы выпустим частицы в опре­деленном состоянии j, затем проведем их через прибор, а после проделаем измерение, чтобы посмотреть, находятся ли они в состоянии c, то результат будет описываться амплитудой

Такой символ не имеет близкого аналога в векторной алгебре. (Он ближе к тензорной алгебре, но эта аналогия не так уж полезна.) Мы видели в гл. 3 [формула (3.32)], что (6.16) можно переписать так:

Это пример двукратного применения основного правила (6.9).

Мы обнаружили также, что если вслед за прибором А по ставить другой прибор 5, то можно написать