Ричард Фейнман: 8. Квантовая механика I

А теперь мы покажем, что, используя одни только эти прин­ципы, уже можно решать и более трудные задачи, наподобие показанной на фиг. 1.2.

Фиг. 1.2. Интерференционный опыт посложнее.

Тут изображены две стенки: одна с двумя щелями 1 и 2, другая с тремя — а, b и с. За второй стенкой в точке х стоит детектор, и мы хотим узнать амплитуду того, что частица достигнет х. Один способ решения состоит в расчете суперпозиции, или интерференции, волн, проходящих сквозь щели; но можно сделать и иначе, сказав, что имеется шесть возможных путей, и накладывая друг на друга их амплитуды. Электрон может пройти через щель 1, затем через щель а и потом в х, или же он мог бы пройти сквозь щель 1, затем сквозь щель b и затем в x; и т. д. Согласно нашему второму принципу, амплитуды взаимоисключающих путей складываются, так что мы должны записать амплитуду перехода от s к х в виде суммы шести отдельных амплитуд. С другой стороны, согласно третье­му принципу, каждую из них можно записать в виде произведе­ния трех амплитуд. Например, одна из них — это амплитуда перехода от s к 1, умноженная на амплитуду перехода от 1 к а и на амплитуду перехода от а к я. Используя наше сокращенное обозначение, полную амплитуду перехода от s к х можно запи­сать в виде

Можно сэкономить место, использовав знак суммы:

Чтобы, пользуясь этим методом, проводить какие-то вы­числения, надо, естественно, знать амплитуду перехода из од­ного места в другое. Я приведу пример типичной амплитуды. В ней не учтены некоторые детали, такие, как поляризация све­та или спин электрона, а в остальном она абсолютно точна. С ее помощью вы сможете решать задачи, куда входят различные сочетания щелей. Предположим, что частица с определенной энергией переходит в пустом пространстве из положения r 1в положение r 2. Иными словами, это свободная частица: на нее не действуют никакие силы. Отбрасывая численный множитель впереди, амплитуду перехода от r 1к r 2можно записать так:

где r 12=r 2-r 1а р— импульс частицы, связанный с ее энергией Е релятивистским уравнением

или нерелятивистским уравнением

p 2 /2m = Кинетическая энергия.

Уравнение (1.7) в итоге утверждает, что у частицы есть волно­вые свойства, что амплитуда распространяется как волна с волновым числом, равным импульсу, деленному на

В общем случае в амплитуду и в соответствующую вероят­ность входит также и время. В большинстве наших первона­чальных рассуждений будет предполагаться, что источник испускает частицы с данной энергией беспрерывно, так что о времени не нужно будет думать. Но, вообще-то говоря, мы вправе заинтересоваться и другими вопросами. Допустим, что частица испущена в некотором месте Р в некоторый момент и вы хотите знать амплитуду того, что она окажется в каком-то месте, скажем г, в более позднее время. Это символически мож­но представить в виде амплитуды t = t 1 P, t = 0>. И яс­но, что она зависит и от r, и от t. Помещая детектор в разные места и делая измерения в разные моменты времени, вы получите разные результаты. Эта функция r и t, вообще говоря, удовле­творяет дифференциальному уравнению, которое является волно­вым уравнением. Скажем, в нерелятивистском случае это уравне­ние Шредингера. Получается волновое уравнение, аналогичное уравнению для электромагнитных волн или звуковых волн в газе. Однако надо подчеркнуть, что волновая функция, удовлет­воряющая уравнению, не похожа на реальную волну в простран­стве; с этой волной нельзя связать никакой реальности, как это делается со звуковой волной.

Хотя, имея дело с одной частицей, можно начать пытаться мыслить на языке «корпускулярных волн», но ничего в этом хорошего нет, потому что если, скажем, частиц не одна, а две, то амплитуда обнаружить одну из них в r 1а другую в r 2не есть обычная волна в трехмерном пространстве, а зависит от шести пространственных переменных r 1и r 2. Когда частиц две (или больше), возникает потребность в следующем добавочном прин­ципе. Если две частицы не взаимодействуют, то амплитуда того, что одна частица совершит что-то одно, а другая сделает что-то другое, есть произведение двух амплитуд — амплитуд того, что две частицы проделали бы это по отдельности. Напри­мер, если <���а| s 1>есть амплитуда того, что частица 1 перейдет из s 1в а, а 2> — амплитуда того, что частица 2 перейдет из s 2в b, то амплитуда того, что оба эти события произойдут вместе, есть