Ричард Фейнман: 8. Квантовая механика I

Чтобы учесть этот эффект, надо видоизменить математиче­скую формулировку уравнения (1.12), потому что в том анализе состояния не были охарактеризованы полностью. Пусть вна­чале у всех нейтронов, вылетающих из источника, спин направ­лен вверх, а у всех ядер кристалла — вниз. Во-первых, нам нужна амплитуда того, что в счетчике нейтронов их спин ока­жется направленным вверх и все спины в кристалле будут по-прежнему смотреть вниз. Это ничем не отличается от наших прежних рассуждений. Обозначим через а амплитуду рассея­ния без переворота спина. Амплитуда рассеяния от i -го атома, разумеется, равна

Поскольку все спины атомов направлены вниз, разные альтерна­тивы (разные значения i) нельзя друг от друга отличить. В этом процессе все амплитуды интерферируют.

Но есть и другой случай, когда спин детектируемого нейтро­на смотрит вниз, хотя вначале, в S, он смотрел вверх. Тогда в кристалле один из спинов должен перевернуться вверх, скажем спин k-го атома. Допустим, что у всех атомов амплитуда рас­сеяния с переворотом спина одна и та же и равна 6. (В реальном кристалле имеется еще одна неприятная возможность: пере­вернутый спин переходит к какому-то другому атому, но до­пустим, что в нашем кристалле вероятность этого мала.) Тогда амплитуда рассеяния равна

Если мы спросим теперь, какова вероятность того, что у нейтро­на спин окажется направленным вниз, а у k-го ядра — вверх, то она будет равняться квадрату модуля этой амплитуды, т. е. просто | b | 2, умноженному на |<���С|k>| 2. Второй множитель почти не зависит от того, где атом k расположен в кристалле, и все фазы при вычислении квадрата модуля ис­чезают. Вероятность рассеяния на любом ядре кристалла с пере­воротом спина, стало быть, равна

что дает гладкое распределение, как на фиг. 1.6, б.

Вы можете возразить: «А мне все равно, какой атом перевер­нулся». Пусть так, но природа-то это знает, и вероятность на самом деле выходит такой, как написано выше,— никакой интерференции не остается. А вот если вас заинтересует ве­роятность того, что спин в детекторе будет направлен вверх, а спины всех атомов — по-прежнему вниз, то вы должны будете взять квадрат модуля суммы:

Поскольку у каждого слагаемого в этой сумме есть своя фаза, то они интерферируют и появляется резкая интерференционная картина. И если мы проводим эксперимент, в котором мы не наблюдаем спина детектируемого нейтрона, то могут произойти события обоих типов и сложатся отдельные вероятности. Полная вероятность (или скорость счета) как функция угла тогда выглядит подобно кривой на фиг. 1.6, в.

Давайте еще раз окинем взглядом физику этого опыта. Если вы способны в принципе различить взаимоисключающие ко­нечные состояния (хотя вы и не собирались на самом деле этого делать), то полная конечная вероятность получается подсчетом вероятности каждого состояния (а не амплитуды) и последую­щим их сложением. А если вы неспособны даже в принципе различить конечные состояния, тогда надо сперва сложить амплитуды вероятностей, а уж потом вычислять квадрат моду­ля и находить самую вероятность. Заметьте особенно, что если бы вы попытались представить нейтрон в виде отдельной волны, то получили бы одно и то же распределение и для рассеяния нейтронов, вращающихся спином вниз, и для нейтронов, вра­щающихся спином вверх. Вы должны были бы сказать, что «волна» нейтронов со спином, направленным вниз, пришла ото всех различных атомов и интерферирует так же, как это делает одинаковая по длине волна нейтронов со спином, направленным вверх. Но мы знаем, что на самом деле это не так. Так что (мы уже это отмечали) нужно быть осторожным и не представлять себе чересчур реально волны в пространстве. Они полезны для некоторых задач. Но не для всех.

§ 4. Тождественные частицы

Очередной опыт, который мы хотим описать, продемонстри­рует одно из замечательных следствий квантовой механики. В нем снова встретятся такие физические события, в которых существуют два неразличимых пути и, как всегда при таких об­стоятельствах, возникает интерференция амплитуд. Мы собира­емся рассмотреть рассеяние одних ядер на других при сравни­тельно низкой энергии. Начнем, скажем, с a-частиц (это, как вы знаете, просто ядра гелия), бомбардирующих кислород. Чтобы облегчить анализ реакции, проведем его в системе центра масс, в которой скорости ядра кислорода и a-частицы перед столкновением противоположны, а после столкновения тоже противоположны (фиг. 1.7, а). (Величины скоростей, конечно, различны, поскольку массы различны.) Предположим также, что энергия сохраняется и что энергия столкновения настолько мала, что частицы ни раскалываются, ни переходят в возбужденное состояние. Причина, отчего частицы отклоняют друг друга, состоит попросту в том, что обе они заряжены положительно и, выражаясь классически, отталкиваются, проходя одна мимо дру­гой. Рассеяние на разные углы будет происходить с различной вероятностью, и мы хотим выяснить угловую зависимость подоб­ного рассеяния. (Конечно, все это можно рассчитать классически, и по удивительной случайности оказалось, что ответ на этот вопрос в квантовой механике и в классической — один и тот же. Это очень занятно, потому что ни при каком законе сил, кроме закона обратных квадратов, так не бывает, стало быть, это и впрямь случайность.)