Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

4. Для перпендикулярно падающего луча (разумеется, при любой поляризации!)

(Мы использовали индекс i для обозначения величин в падающем луче, t — в преломленном, а r — в отраженном.)

Наши прежние рас­суждения практически достаточно полны для обычной работы, но мы собираемся применить здесь другой способ. Вы хотите знать почему? Причина заключается в том, что раньше мы считали показатель преломления вещественным (т. е. что никакого поглощения в материале не происходит). Однако есть и другая причина: вам следует уметь обращаться с волнами на поверхности с точки зрения уравнений Максвелла. Ответы, конечно, получатся одинаковые, но теперь уже путем непосред­ственного решения волновой задачи, а не с помощью правдо­подобных рассуждений.

Я хочу подчеркнуть, что амплитуда отраженной от поверх­ности волны не определяется такими свойствами материала, как показатель преломления. Она зависит от чисто «поверхно­стных свойств», которые, строго говоря, определяются тем, как обработана поверхность. Тонкий слой посторонней примеси на границе между двумя материалами с показателями n 1и n 2обычно изменяет отражение. (Имеются всяческие виды интер­ференции, примером которой могут служить разноцветные масляные пленки на воде. Подбором толщины можно свести амплитуду отражения данной частоты к нулю. Именно так и делаются просветленные линзы.) Формулы, которые мы полу­чим, будут верны, только когда показатель преломления резко изменится на расстояниях, малых по сравнению с длиной волны. Длина волны света, например, составляет около 5000 Е, так , что под «гладкой» поверхностью мы понимаем поверхность, на которой условия изменяются всего на протяжении нескольких атомов (или на расстоянии нескольких ангстрем). Так что для света наши формулы будут работать только на хорошо отполированной поверхности. Вообще же если показатель преломления постепенно меняется на расстоянии нескольких длин волн, то отражение будет незначительным.

§ 2. Волны в плотных материалах

Прежде всего я напомню вам об удобном способе описания синусоидальных плоских волн, которым мы пользовались в гл. 36 (вып. 3). Любая компонента поля в волне (возьмем, на­пример, Е) может быть записана в форме

E=E 0e i ( w t - k · r ), (33.6)

где Е — амплитуда поля в точке г (относительно начала коор­динат) в момент t. Вектор kуказывает направление распростра­нения волны, а его величина | k|=k=2pl равна волновому числу. Фазовая скорость волны v фаз=w/k для света в материале с показателем n будет равна c/n, поэтому

k=wn/c. (33.7)

Предположим, что вектор kнаправлен по оси z; тогда k·rбудет просто хорошо знакомым нам kz. Для вектора kв любом другом направлении z следует заменить на r k — расстояние от начала в направлении вектора k, т. е. kz мы должны заменить на kr k , что как раз равно k·r(фиг. 33.2).

Фиг. 33.2. Фаза волны в точке Р, распространяющейся в направ­лении k, равна (wt- k · r ).

Таким образом, запись (33.6) является удобным представлением волны, идущей в любом направлении.

Разумеется, при этом мы должны помнить, что

k · r =k x x+k y y+k : z z,

где k x , k y и k z — компоненты вектора kпо трем осям. Мы уже отмечали однажды, что на самом деле величины (w, k x , k y , k z ) образуют четырехвектор и что его скалярное произведение на (t, x, у, z) является инвариантом. Таким образом, фаза волны есть инвариант и формулу (33.6) можно записать в виде

Однако сейчас нам такие хитрости не понадобятся.

Для синусоидального по­ля Е, подобного выражению (33.6), производная dE/дt — это то же самое, что и iwE, a дЕ/дх — то же, что и ik x E , и аналогично для остальных компо­нент. Вы видите, чем удобна форма (33.6): когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, то дифференцирование заменяется простым умножением. Другое полезное качество состоит в том, что операция С =(д/дx), (д/ду), (д/дz) заменяется тремя умножениями (- ik x ,-ik y , -ik z ). Но эти три множителя преобразуются как компоненты вектора k, так что оператор С заменяется умножением на