Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначе­ниях»:

где через r iобозначены компоненты (х, у, z) вектора положе­ния частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения Lс угловой ско­ростью w:

Для любого тела независимо от его формы можно найти эл­липсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относи­тельно этих осей тензор будет диагональным, так что для лю­бого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.

§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы опреде­лили там «момент силы, действующий в плоскости», например t xy, следующим образом:

t xy =xF y -yF x .

Обобщая это определение на три измерения, можно написать

t ij=r iF j-r jF i. (31.22)

Как видите, величина t ij— это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть t ijс каким-то век­тором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить

Если эта величина окажется вектором, то t ij должен преобра­зовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для t ij, получаем

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что t ij-— действительно тензор.

Однако t ijпринадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.

t ij=-t ji.

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: t xy, t yzи t zz. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

t=(t x,. t y, t z) = (t yz, t zx, t xy).

Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить векто­ром, у которого компонент только четыре.

Точно так же как аксиальный вектор t== rX Fявляется тен­зором, по тем же соображениям тензором будет и любое век­торное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.

Вообще говоря, для любых двух векторов аи bдевять ве­личин a i b j образуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора по­ложения r величины r ir jявляются тензором, а поскольку d ij. тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действитель­но является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.

§ 6. Тензор напряжений

Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали как коэффициенты, связывающие один вектор с другим. Сей­час я познакомлю вас с тензором, имеющим совершенно другой физический смысл,— это тензор напряжений. Предположим, что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными частями материала. Мы уже гово­рили немного о подобных на­пряжениях в двумерном случае, когда рассматривали поверхностное натяжение напряженной диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.

Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были дейст­вовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендику­лярную оси х, подобную плоскости s на фиг. 31.5, и интересуем­ся силами, действующими на маленькой площадке Dy/Dz, рас­положенной в этой плоскости.