Ричард Фейнман - 2a. Пространство. Время. Движение

V=L(dI/dt)=L(d 2q/dt 2). (23.16)

Коэффициент L — это коэффициент самоиндукции; он является электрическим аналогом массы.

Предположим, мы собираем цепь из трех последовательно соединенных элементов (фиг. 23.5); приложенная между точ­ками 1 и 2 разность потенциалов заставит заряды двигаться по цепи, тогда на концах каждого элемента цепи тоже возникает

разность потенциалов: на концах индуктивности V L =L(d 2 q/dt 2 ), на сопротивлении V R =R(dq/dt), а на емкости V c =q/C.

Фиг. 23.5. Электрический ко­лебательный контур, состоящий из сопротивления, индуктивности и емкости.

Сумма этих напряжений дает нам полное напряжение

Мы видим, что это уравнение в точности совпадает с механиче­ским уравнением (23.6); будем решать его точно таким же спо­собом. Предположим, что V(t) осциллирует; для этого надо со­единить цепь с генератором синусоидальных колебаний. Тогда можно представить V(t) как комплексное число V, помня, что для определения настоящего напряжения V(t) это число надо еще умножить на exp(iwt) и взять действительную часть. Анало­гично можно подойти и к заряду q, а поэтому напишем уравнение, в точности повторяющее (23.8): вторая производная q— это (iw) 2q, а первая — это (iw)q. Уравнение (23.17) перейдет в

или

последнее равенство запишем в виде

где w 2 0 =1/LC, a g =R/L. Мы получили тот же знаменатель, что и в механической задаче, со всеми его резонансными свойст­вами! В табл. 23.1 приведен перечень аналогий между элект­рическими и механическими величинами.

Таблица 23.1 · МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Еще одно чисто техническое замечание. В книгах по электри­честву используют другие обозначения. (Очень часто в книгах на одну и ту же тему, написанных людьми разных специаль­ностей, используются различные обозначения.) Во-первых, для обозначения Ц-1 используют букву j, а не i (через i должен обозначаться ток!). Во-вторых, инженеры предпочитают соотношение между V и I, а не между V и q . Они так больше привыкли. Поскольку I =dq/dt=iwq, то вместо q можно под­ставить I/iw, и тогда

Можно слегка изменить исходное дифференциальное уравнение (23.17), чтобы оно выглядело более привычно. В книгах часто попадается такое соотношение:

Во всяком случае, мы находим, что соотношение (23.19) между напряжением V и током I то же самое, что и (23.18), и от­личается только тем, что последнее делится на iw. Комп­лексное число R +i w L+1/i w C инженеры-электрики часто называют особым именем: комплексный импеданс Z. Введение новой буквы позволяет просто записать соотношение между током и сопротивлением в виде V=ZI. Объясняется это при­страстие инженеров тем, что в юности они изучали только цепи постоянного тока и знали только сопротивления и закон Ома: V=RI. Теперь они более образованы и имеют уже цепи перемен­ного тока, но хотят, чтобы уравнения были те же самые. Вот они и пишут V=ZI, и единственная разница в том, что теперь со­противление заменено более сложной вещью: комплексным чис­лом. Они настаивают на том, что они не могут использовать принятого во всем мире обозначения для мнимой единицы и пишут j; поистине удивительно, что они не требуют, чтобы вме­сто буквы Z писали букву R! (Много волнений доставляют им разговоры о плотности тока; ее они тоже обозначают буквой j. Сложности науки во многом связаны с трудностями в обозна­чениях, единицах и прочих выдумках человека, о чем сама при­рода и не подозревает.)