Александр Филиппов - Многоликий солитон

В заключение этой короткой экскурсии в оптику надо отметить, что точное описание дисперсии в действительности требует применения квантовой теории. Это было сделано в первой половине нашего века, но основная идея объяснения этого любопытного и важного явления родилась, как мы видели, очень давно. Обо всей этой истории можно было бы написать увлекательную повесть, но нас давно ждут солитоны.

*) Двумя годами ранее подобную модель рассмотрел Максвелл, который не опубликовал свои результаты.

Дисперсия играет огромную роль в жизни солитонов. Поэтому нам нужно познакомиться и с другими ее видами. Особенно ярко проявляются зависимость скорости распространения волн от их длины для волн на поверхности воды. Это было известно уже Ньютону. Теорема 37 третьей книги «Начал» гласит: «Скорость волн пропорциональна корню квадратному из длины их». После этого Ньютон в задаче 10 вычисляет скорость волны, сопоставляя вертикальным колебаниям частиц воды качания маятника с длиной l = ¼λ. За время одного качания Т волна сдвигается на расстояние λ, откуда v = (λ/ Т ) = . Хотя это лишь приближенное соотношение, приближение получилось довольно неплохое. Правильное выражение с учетом кругового движения частиц воды есть v = . Сразу заметим, что с такой скоростью распространяются волны лишь на «глубокой воде», когда глубина h много больше длины волны. В противоположном предельном случае «мелкой воды», когда h λ, скорость волны зависит лишь от глубины: v = .

С точностью до числовых множителей эти формулы можно получить из соображений размерности и простых физических представлений о природе распространения волны. Скорость v может зависеть от g , λ, h , а также от плотности жидкости ρ и от амплитуды волны. Так как размерность массы содержится только в ρ, то сразу ясно, что скорость не зависит от плотности. (Это можно также понять, просто вспомнив, что возвращающая сила, действующая на частичку воды, пропорциональна ее массе. В уравнении движения Ньютона эта масса сокращается, как и в случае маятника.)

Простейшие наблюдения указывают на то, что скорость не зависит от амплитуды. Положив поэтому v = dg α λ b h c и сравнивая размерности левой и правой частей, находим

v = d (h/ λ) c.

Здесь показатель с и число d соображениями размерности не определяются. Однако мы знаем, что при распространении колебаний в движение вовлекаются лишь слои воды, расположенные на глубине, меньшей длины волны (амплитуду считаем малой). Это значит, что при достаточно большом расстоянии h от поверхности до дна величина h не играет никакой роли, т. е. надо положить с = 0. В противоположном предельном случае, когда h λ, скорость не должна зависеть от длины волны λ, так как размеры траекторий совершающих колебания частиц воды не могут превышать h (сравните с длинной волной в цепочке атомов). Мы заключаем, что для мелкой воды надо взять с = ½.

В точной теории можно получить формулу, пригодную при любом соотношении между h и λ. Из нее следует, что при возрастании длины волны скорость сначала растет, но при λ 2π h этот рост замедляется и скорость приближается к максимальному, или «критическому» значению v к= . Полезно познакомиться с приближенными выражениями для скорости в пределе коротких и длинных волн

Зависимость скорости от длины волны для длинных волн на мелкой воде удивительно напоминает соотношение между v и λ для длинных волн в решетке атомов. Действительно, воспользовавшись тем, что при малых α можно приближенно положить sin α α - α З/6, легко получить приближение для соотношения (5.17) при λ α :