Александр Филиппов - Многоликий солитон

При отсутствии дисперсии из соображений размерности следует независимость скорости звука от амплитуды. Проверьте это, предположив, что в формуле размерности для v показатель с = 0, но введя зависимость от амплитуды.

Точно так же можно оценить скорость звука в жидкостях, например в воде. Только в этом случае вместо модуля Юнга надо взять модуль объемной упругости жидкости К . Он определяется соотношением Δ p = K (Δ V/V ), где Δ p — приращение давления, необходимое для того, чтобы уменьшить объем V на величину Δ V . Эта формула совершенно аналогична соотношению F/S = E (Δ l/l ) для стержня, и мы сразу можем найти скорость звука в жидкостях: . для воды ρ = 1 г/см 3, К 2,13•10 10г/(cм•c 2), так что v 1460 м/с. Заметьте, что скорость звука зависит от плотности, а значит, несколько меняется с температурой.

Между прочим, до начала XIX в. распространение звука в жидкостях считалось невозможным. Хладни придерживался противоположного мнения, но попыток измерить скорость звука в жидкостях не делал. Первое измерение было выполнено в год смерти Хладни швейцарскими учеными Жаном Колладоном и Жаном Штурмом, получившими значение v = 1435 м/с при температуре 8 0С.

Читатель легко найдет и скорость распространения поперечных волн в натянутой струне. В этом случае возвращающая сила пропорциональна силе натяжения струны F , и при малом изгибе и растяжении струны не зависит от ее упругости. Предполагая, что v = dF aρ l Ь, где ρ l— линейная плотность струны, покажите, что ; из опыта и из более полной теории следует, что d = 1. Это соотношение в равной степени применимо к металлической струне, нитке и рыболовной леске.

Опыты удобнее всего делать с леской. Изменяя ее натяжение, можно менять частоту основного тона, который можно отождествить с одной из нот, извлекаемых на фортепиано. Нота «ля» первой октавы обычно настраивается с помощью камертона на частоту = 440 Гц. Частоты , соответствующие другим нотам, определяются соотношением log( / ) = (n/12)log2. Для «ля» во второй октаве n = 12 и частота равна 2 . При ходе от на октаву ниже n = -12 и частота равна /2.

Определяя частоты с помощью фортепиано или другого музыкального инструмента, можно найти скорость распространения волны по формуле v = λ , так как длина волны основной моды для струны с закрепленными концами равна удвоенной длине струны. Пользуясь этой простой идеей, Хладни и определил на опыте скорости звука в газах и твердых телах, только частоты он определял не на фортепиано, а на монохорде. Хорда в переводе с древнегреческого — струна, и монохорд можно назвать «однострунником». Это просто струна на резонаторе, длину звучащей части которой можно менять. Монохорд, вероятно, изобрел Пифагор. Он же первым открыл простые соотношения между музыкальными интервалами.

Легко найти и скорость звука в газах. Аналог модуля упругости в этом случае — давление. Действительно, из закона Бойля—Мариотта pV = const следует, что V •Δ p + p •Δ V = 0, т. е. Δ p = - p (Δ V/V ). Подставляя в формулу для скорости звука в жидкости вместо модуля объемной упругости давление, находим . Эту формулу получил Ньютон, который пользовался описанной в начале этой главы дискретной моделью. Рассуждения Ньютона были весьма сложны и стали понятны лишь после работ Бернулли, Эйлера и Лагранжа. Лагранж писал: «эта теория одними почиталась за непонятную, другие находят ее противоречивой, в сущности же, если она и обладает каким недостатком, то тем, что она слишком частная, но вместе с тем она содержит зачаток истинной теории, открытой лишь в последнее время при помощи анализа».

Кроме того, величина v , полученная Ньютоном, сильно расходилась с наблюдаемым значением *). Это было известно Ньютону, но его объяснение этого расхождения нельзя признать ни понятным, ни убедительным. Эта трудность только усилилась после опытов Хладни, который выяснил, что формула Ньютона сильно расходится с опытом и для других газов. Bычислим по формуле Ньютона скорость v для воздуха. Так как р /ρ = гT , где г — газовая постоянная, а Т — температура, то для воздуха при Т = 273 К = 0 0С получаем v 280 м/с вместо 332 м/с.