Александр Филиппов - Многоликий солитон

Правда, здесь есть некоторые тонкости. Например, новые обобщенные координаты, от которых энергии зависят одинаково, могут изменяться в разных пределах. Более существенная тонкость связана с тем, что для систем разной природы нас могут интересовать разные задачи. Если между системами имеется точная аналогия, то их обобщенные координаты удовлетворяют одинаковым уравнениям движения. (Собственно, это и есть определение точной аналогии, просто иногда удобнее иметь дело с энергией.) Однако мы знаем, что для определения конкретного движения нужно задать некоторые дополнительные условия, например, начальные значения координат и скоростей.

Рассмотрим с этой точки зрения аналогию Кирхгофа. Выше упоминалось о точном соответствии между движением маятника и формой изгиба упругой проволочки (эластика Эйлера). В следующей главе будет показано, что для определения эластики Эйлера нужно решить уравнение маятника φ" = -ω 0 2sin φ. Однако в этом случае задача ставится совсем не так, как в теории маятника. Аналог времени здесь — длина дуги эластики s , а длина проволочки l фиксирована, так что -1/2 l s 1/2 l . Нам нужно найти форму проволочки, т. е. φ( s ) при заданной внешней силе F . Как мы увидим ниже, величина ω 0 2пропорциональна F . Если пользоваться аналогией с маятником, то нужно решить довольно странную задачу: найти все возможные движения маятника от «момента» -1/2 l до «момента» +1/2 l и изучить зависимость этих движений от ω 0 2. Для эластики естественно возникают и другие задачи, например, как найти ее наиболее устойчивую форму, т. е. форму, для которой запасенная в проволочке упругая энергия минимальна. Эти задачи существенно сложнее задач, обычно решаемых в теории маятника, и знакомство с аналогичными, но более просто определяемыми движениями маятника очень помогает при их решении.

Полезны не только точные, но и приближенные аналогии. Типичный пример приближенной аналогии — соотношение между обычным и циклоидальным маятником. Приближенной аналогией следует пользоваться с большей осторожностью, чем точной. Например, при достаточно больших амплитудах колебания обычного и циклоидального маятника становятся качественно различными. Более удачна качественная аналогия между маятником и грузиком на кривой у = α [1 - cos ( х/Ь )] в поле силы тяжести, направленной по оси у (грузик в желобе). Введя обозначение φ = х/Ь , можно проверить, что малые колебания грузика вблизи точки φ = 0 соответствуют малым колебаниям маятника с длиной l = b 2/α и что для этих двух систем фазовые портреты качественно сходны. На математическом языке можно сказать, что они топологически эквивалентны *). Простой пример такой эквивалентности — изображение нашего лица в кривом зеркале «комнаты смеха».

*) Топологически эквивалентные фазовые портреты легко получить, нарисовав какой-нибудь фазовый портрет на резиновой пленке. Любой портрет, который получается растягиванием пленки без разрывов, топологически эквивалентен исходному. При этом замкнутые кривые остаются замкнутыми, непересекающиеся кривые остаются непересекающимися и т. д.

Топологическую эквивалентность фазовых портретов можно было бы положить в основу определения качественной эквивалентности . Однако с этим связана еще одна тонкость. Все изучаемые в физике модели реальных систем описывают их реальное поведение лишь с какой-то степенью точности. Любая математическая модель физического явления получается упрощением, или идеализацией, реальной системы. Чем сложнее система, тем серьезнее эти упрощения.

Как говорил Я. И. Френкель, «физик-теоретик... подобен художнику-карикатуристу, который должен воспроизвести оригинал не во всех деталях, подобно фотографическому аппарату, но упростить и схематизировать его таким образом, чтобы выявить и подчеркнуть наиболее характерные черты. Фотографической точности можно — и следует — требовать лишь от теоретического описания простейших систем. Хорошая теория сложных систем должна представлять лишь хорошую «карикатуру» на эти системы, утрирующую те свойства их, которые являются наиболее типическими, и умышленно игнорирующую все остальные — несущественные свойства... Хорошая карикатура на какого-либо человека не может существенно улучшиться от более аккуратного и точного изображения нехарактерных деталей его лица и фигуры» *). Так вот, основная тонкость состоит как раз в том, чтобы выделить эти наиболее характерные черты.