Александр Филиппов - Многоликий солитон

Нетрудно нарисовать любую фазовую траекторию. Это просто прямые, параллельные горизонтальной оси Os и пересекающие вертикальную ось в точке, соответствующей значению скорости, равному v 0. Когда скорость положительна, изображающая точка А пробегает фазовую траекторию слева направо, при отрицательной скорости — в обратном направлении. Если s = s 0+ v 0t, то график движения не проходит через точку О, но фазовая траектория такого движения совпадает с фазовой траекторией движения s = v 0t. Это, конечно, легко проверить, но на самом деле это должно быть очевидным, так как фазовые траектории не зависят от момента t 0, в котором мы начинаем отсчет времени.

Если точка покоится, то на графике движения ей соответствует прямая, параллельная оси времени, т. е. s = s 0и α = 0. На фазовой диаграмме этой прямой соответствует точка s = s 0на оси Os , т. е. точка ( s, v ) = ( s 0, 0). При разных значениях s 0эти точки заполняют всю ось Os . Каждую точку оси Os нужно рассматривать как отдельную фазовую траекторию.

Таким образом, фазовые траектории точки, движущейся равномерно по прямой, — это прямые, параллельные оси Os , а также точки оси Os . Через каждую точку фазовой плоскости ( s, v ) проходит только одна фазовая траектория, если договориться, что выбор начала отсчета времени t 0несуществен (т. е. важно лишь, какую кривую пробегает изображающая точка). Чтобы больше не возвращаться к этому, можно, как это делалось и раньше, условиться, что s = 0 при t = 0 , а остальные движения получать сдвигом начала отсчета времени.

В качестве упражнения постройте фазовые диаграммы равномерно ускоренных движений грузика, падающего с высоты h или подбрасываемого вверх. Точка О на фазовой диаграмме представляет фазовую траекторию лежащего на земле грузика. Вообще, такие точки на фазовых диаграммах называются точками покоя . В самом нижнем положении наш грузик покоится устойчиво, иными словами, точка на фазовой диаграмме — устойчивая точка покоя . Если грузик слегка подбросить, он вернется назад. Дальнейшее движение грузика зависит от его устройства как реальной физической системы. Если грузик — модель упругого мячика, падающего на асфальт, то он будет отскакивать, пока вся его энергия не перейдет в тепло (попробуйте нарисовать фазовые траектории этих движений). Если же уронить на пол кусочек пластилина, то он останется в нижнем положении (какова фазовая траектория в этом случае?).

Точки покоя на фазовом портрете равномерно движущегося грузика, наоборот, неустойчивы. Если сообщить грузику небольшой импульс, то он начнет равномерно двигаться и в конце концов уйдет сколь угодно далеко от исходного положения. На фазовом портрете это будет выглядеть так, что точка ( s 0, 0) «перепрыгнет» на близкую фазовую траекторию и уйдет по ней сколь угодно далеко. В реальной системе (скажем, шайба на льду) этому помешает трение, но при очень малом трении шайба все равно улетит далеко, а при достаточном заметном трении нужно уже рисовать другой фазовый портрет, так как фазовые траектории не будут прямыми, параллельными оси Os (подумайте, как они могут выглядеть).

Набросав все эскизы, попробуем теперь нарисовать портрет маятника. Чтобы облегчить эту задачу, изобразим сначала его движения на энергетической диаграмме (рис. 4.9). Вспомним, что связь между угловой скоростью φ' и углом отклонения φ определяется выражением для энергии (4.3), которое перепишем еще раз:

(φ') 2/ω 0 2+ 4 sin 2φ/2 = Е/E 0, E 0 = 1/2 m ω 0 2 l 2.

Если энергия равна нулю, то маятник покоится ; график его движения — ось Ot , изображающая точка на энергетической диаграмме и на фазовой диаграмме — точка O .

Если Е/E 0 4, то существует максимальное значение угла отклонения φ M π. Так как должно выполняться неравенство Е/E 0- 4 sin 2φ/2 0, то угол φ не может достигать значения π. Мы знаем, что при этом маятник колеблется между значениями угла отклонения -φ Mи +φ M. Движение это периодическое, хотя оно уже не описывается простой синусоидой и формула Гюйгенса не применима. (Вместо нее следует использовать более сложную формулу (4.2).) Графику этого движения (кривая 1 на рис. 4.9) соответствует на энергетической диаграмме движение по кривой 1 до крайней точки A 1, где кинетическая энергия и скорость равны нулю, а затем в обратном направлении до A' 1, где точка «отражается» и снова движется в положительном направлении. Как и в случае гармонического движения, на фазовой диаграмме изображающая точка движется по замкнутой кривой «овальной» формы. Ее легко построить с помощью уравнения (4.3), выразив φ' через φ. Если амплитуда φ Mмала, то этот «овал» превращается в окружность, соответствующую синусоиде на графике движения.