Ричард Фейнман: Характер физических законов

Вы помните, что два расстояния 1–2 и 2–3 равны. Вопрос в том, равны ли две площади. Рассмотрим треугольник, образованный Солнцем ( S ) и двумя точками 1 и 2. Какова его площадь? Она равна основанию 1–2 , умноженному на половину перпендикуляра, опущенного на основание из точки S . Теперь – другой треугольник, образованный точками 2, 3 и S . Его площадь равна основанию 2–3 , умноженному на половину перпендикуляра, опущенного из точки S . У этих двух треугольников одна и та же высота и, как я уже сказал, равные основания. Поэтому они имеют одинаковую площадь. Пока все идет прекрасно. Если бы со стороны Солнца не действовало никаких сил, то за равные промежутки времени описывались бы равные площади. Но Солнце действует на планету. На отрезке 1–2–3 Солнце притягивает планету, причем направление силы притяжения постепенно меняется. Чтобы получить хорошее приближение, возьмем среднее положение 2 и скажем, что весь эффект притяжения на отрезке 1–3 сводится к отклонению планеты на некоторое расстояние в направлении линии 2–S (рис. 15).

Это означает, что тело двигалось по линии 1–2 и продолжало бы двигаться по ней, если бы не было силы, но притяжение Солнца заставляет тело двигаться по линии 2–S . Таким образом, движение тела на следующем отрезке складывается из того, как планета двигалась бы самостоятельно, и изменения, которое произошло под действием Солнца. Поэтому планета попадает не в положение 3 , а в положение 4. Теперь мы сравним площади треугольников 23S и 24S и докажем, что они равны. У них общее основание S–2. Одинаковы ли у них высоты? Да, потому что треугольники заключены между параллельными линиями. Расстояние от точки 4 до линии S–2 равно расстоянию от точки 3 до линии S–2 (продолженной). Значит, площадь у треугольника S24 такая же, как у S23. Раньше я доказал, что треугольники S12 и S23 равны по площади. Отсюда ясно, что S12 = S24. Таким образом, при движении планеты по орбите площади, описываемые за первую и за вторую секунду, равны. Значит, путем рассуждений мы нашли связь между тем фактом, что сила направлена к Солнцу, и тем фактом, что площади равны. Не правда ли, остроумно? Я позаимствовал вывод прямо у Ньютона. Все это содержится в его «Principia»: и схема, и доказательство. Только цифры другие, потому что он пользовался римскими цифрами, а я – арабскими.

Все доказательства в книге Ньютона были геометрическими. Сегодня мы строим доказательства по-другому. Мы доказываем аналитически, при помощи символов. Чтобы построить нужные треугольники, подметить равенство площадей, требуется изобретательность. Теперь мы имеем усовершенствованные методы анализа, более быстрые и эффективные. Я хочу показать вам, как это выглядит в обозначениях более современной математики, где для доказательства нужно лишь записать несколько символов.

Мы будем говорить о быстроте изменения площади и обозначим эту величину через А' («А с точкой»). При повороте радиуса площадь изменяется, и быстрота ее изменения – это составляющая скорости, перпендикулярная радиусу, умноженная на радиус. Иначе говоря, это расстояние по радиусу, умноженное на скорость, т. е. на быстроту изменения расстояния:

Спросим себя: изменяется ли сама скорость изменения площади? Закон Кеплера говорит, что скорость изменения площади не должна меняться. Поэтому мы дифференцируем написанное равенство, а тут весь фокус в том, чтобы поставить точки в нужных местах – и ничего больше. Таким фокусам надо научиться: это просто набор правил, которые были придуманы, чтобы облегчить доказательства. Мы пишем

Первое слагаемое – это составляющая скорости, перпендикулярная самой скорости. Оно равно нулю – скорость направлена вдоль самой себя. Ускорение r'' – это вторая производная r, т. е. производная скорости. Она равна силе, деленной на массу.

Это означает, что скорость изменения скорости изменения площади есть составляющая силы, направленная под прямым углом к радиусу. Но если сила направлена по радиусу,

как утверждал Ньютон, то под прямым углом к радиусу она не действует, а значит, скорость изменения площади не изменяется:

Мы видим, как много нам дает анализ при помощи символов. Ньютон более или менее умел это делать, только в несколько других обозначениях. Но он предпочел геометрические доказательства, стремясь к тому, чтобы люди могли прочесть его статьи. Он сам изобрел исчисление бесконечно малых, которым я воспользовался во втором доказательстве.