Йэн Стюарт - Математика космоса [Как современная наука расшифровывает Вселенную]

Радиусы орбит, соответствующих точкам L 4и L 5, в общем случае отличаются от радиусов орбит двух других тел. Однако если одно из этих тел много массивнее другого (к примеру, если это Солнце, а другое тело — планета), то общий центр масс и более массивное тело почти совпадают. В этом случае орбиты, соответствующие L 4и L 5, почти совпадают с орбитой менее массивного тела.

Геометрию точек Лагранжа можно вывести из выражений для энергии пылинки. Энергия эта состоит из кинетической (пылинка вращается вместе с поворотной площадкой) и потенциальной (связанной с гравитационным притяжением Земли и Луны) составляющих. На рисунке полная энергия пылинки показана двумя способами: в виде изогнутой поверхности, высота которой представляет полную энергию, и в виде системы горизонталей — кривых, во всех точках которых энергия постоянна. Поверхность можно рассматривать как некий гравитационный ландшафт. Пылинка может двигаться по этому ландшафту, но до тех пор, пока на нее не подействует какая-нибудь дополнительная сила, закон сохранения энергии требует, чтобы она оставалась на одной горизонтали. В общем, она может двигаться вбок по склону холма, но не вниз и не вверх.

Если «линия» горизонтали представляет собой одну-единственную точку, пылинка будет находиться в равновесии — она останется в той точке поворотной площадки, куда вы ее поместите. Существует пять таких точек, на рисунке с горизонталями они обозначены как L 1— L 5. В точках L 1, L 2и L 3энергетическая поверхность имеет форму седла: в одних направлениях она уходит вниз, в других — вверх. Точки L 4и L 5, напротив, располагаются на вершинах энергетического ландшафта. Важная разница между одними и другими точками состоит в том, что вершины (и локальные впадины, которых здесь нет) окружены небольшими замкнутыми горизонталями, очень близкими к собственно верхушке пика. В седловинах не так: горизонтали вблизи любой точки уходят прочь, и хотя, возможно, когда-нибудь где-нибудь замыкаются, но делают это не сразу и далеко не рядом.

Если пылинку чуть сдвинуть с точки Лагранжа, она окажется на одной из ближайших к ней горизонталей и будет по ней двигаться. В случае седловидной поверхности любая такая горизонталь уведет объект далеко от первоначальной позиции. К примеру, если пылинка, находясь в точке L 2, чуть сдвинется вправо, она попадет на громадную замкнутую горизонталь, которая уведет ее далеко-далеко, вокруг Земли, за точку L 3на дальней стороне планеты. Поэтому можно сказать, что равновесие в точке на седловидной поверхности может быть только неустойчивым : первоначальное небольшое возмущение затем многократно увеличивается. На вершинах и во впадинах равновесие устойчиво : ближайшие к ним горизонтали замкнуты и целиком располагаются вблизи точки равновесия. Небольшое первоначальное возмущение небольшим и останется. Тем не менее сдвинутая пылинка уже не находится в равновесии: ее реальное движение складывается из небольших колебаний по замкнутому контуру и общего вращения поворотной площадки. Подобные орбиты называют орбитами-головастиками. Главное, что о них можно сказать, это то, что пылинка остается вблизи пика.

(Я здесь немного схитрил, поскольку на рисунке показаны положения объектов, но не их скорости. Отклонения по скорости усложняют реальную орбиту, но вывод об устойчивости равновесия остается верным. См. главу 9.)

Точки Лагранжа — это те особенности гравитационного ландшафта, которые можно с выгодой использовать при планировании космических полетов. В 1980-е годы наблюдался всплеск интереса к космическим колониям — гигантским искусственным обиталищам, где люди могли бы жить и, пользуясь солнечным светом как источником энергии, выращивать для себя пищу. В частности, они могли бы жить на внутренней стороне пустотелого цилиндра, если бы тот вращался вокруг своей оси, создавая тем самым искусственную гравитацию при помощи центробежной силы. Точка Лагранжа — привлекательное место для строительства такого космического дома, поскольку здесь любое тело пребывает в равновесии. Даже в седловине, в одной из точек неустойчивого равновесия — L 1, L 2или L 3,— достаточно будет небольших импульсов от включаемых изредка ракетных двигателей, чтобы удержать сооружение на месте и не дать ему уйти. Пиковые точки — L 4и L 5— подходят еще лучше; там не нужна вообще никакая коррекция.

Природа тоже знает о существовании точек Лагранжа, в том смысле, что существуют вполне реальные конфигурации, достаточно близкие к тем, что рассматривали теоретически Эйлер и Лагранж, так что их результаты должны работать. При этом в реальных примерах нередко нарушаются некоторые технические требования модели; к примеру, пылинке не обязательно находиться в одной плоскости с двумя остальными телами. Основные свойства точек Лагранжа относительно устойчивы и действуют для всего хотя бы отдаленно похожего на идеализированную модель.