Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Перейдем к дальнейшему. Возьмем интервал времени ε=0,100. В начальный момент t =0

Отсюда находим

После этого можно вычислять компоненты v x (0,05) и v y (0,05):

А теперь начнем наш основной расчет:

и т. д.

В результате мы получим числа, приведенные в табл. 9.2, где приблизительно за 20 шагов прослежена половина пути нашей планеты вокруг Солнца.

На фиг. 9.6 отложены координаты планеты x и y , приведенные в табл. 9.2.

Фиг. 9.6. График движения планеты вокруг Солнца.

Точки представляют собой последовательные положения планеты через каждую десятую долю выбранной нами единицы времени. Видно, что сначала она двигалась быстро, а затем — все медленней и медленней. Видна также и форма кривой движения планеты. Итак, вы теперь знаете, как реально можно вычислять движение планет!

Давайте посмотрим теперь, как вычислить движение Нептуна, Юпитера, Урана и остальных планет. Можно ли сделать подробные расчеты со множеством планет, учитывая к тому же и движение Солнца? Разумеется, можно. Найдем сначала силу, действующую на каждую данную планету, например на ту, которую мы обозначим номером i и координаты которой x i , y i и z i ( i =1 может означать Солнце, i =2 — Меркурий, i =3 — Венеру и т. д.). Наша задача — найти координаты всех планет. По закону тяготения x -компонента силы, действующая на i -ю планету со стороны планеты номер j с координатами x j y j , z j , будет равна — Gm i m j ( x i - x j )/ r ij 3. Если же учесть силы со стороны всех планет, то получим следующую систему уравнений:

(9.18)

где r ij — расстояние между i -й и j -й планетами:

(9.19)

а ∑ означает суммирование по всем остальным планетам, r . е. по всем значениям j , за исключением, конечно, j = i . Таким образом, чтобы решить это уравнение, нужно лишь значительно увеличить количество столбцов в нашей таблице. Для движения Юпитера понадобится девять столбцов, для Сатурна — тоже девять и т. д. Если нам заданы все начальные положения и скорости, то из уравнения (9.18) можно подсчитать все ускорения, вычислив, конечно, предварительно по формуле (9.19) все расстояния r ij ,. А сколько же времени потребуется на все эти вычисления? Если вы будете делать их сами дома, то очень много! Однако сейчас уже имеются машины, неимоверно быстро выполняющие все арифметические расчеты. Сложение, например, такая машина выполняет за 1 мксек , т. е. за одну миллионную долю секунды, а умножение — за 10 мксек . Так что если один цикл расчетов состоит из 30 операций умножения, то это займет всего лишь 300 мксек , или за 1 сек можно сделать 3000 циклов. Если мы хотим считать с точностью до одной миллиардной, то для того, чтобы покрыть все время обращения планеты вокруг Солнца, требуется 4·10 5циклов. (Оказывается, что ошибка в расчетах приблизительно пропорциональна квадрату ε. Если брать интервал в тысячу раз меньший, то ошибка уменьшится в миллион раз. Так что для обеспечения нашей точности нужно взять интервал в 10 000 раз меньше.) На машине это займет 130 сек , или около 2 мин . Всего лишь 2 мин , для того чтобы «прогнать» Юпитер вокруг Солнца и при этом еще с точностью до одной миллиардной учесть все возмущения от других планет!