Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Предположим, что свет приходит из бесконечности, попадает на предмет и отбрасывает от него тень. На фиг. 30.7 изображен экран, на который свет отбрасывает тень от предмета АВ , причем источник света удален на расстояние, много большее длины волны.

Фиг. 30.7. Далекий источник отбрасывает тень от непрозрачного предмета на экран.

Казалось бы, вне тени интенсивность света максимальна, а внутри должна быть полная темнота. На самом же деле, если откладывать интенсивность как функцию расстояния до края тени, интенсивность будет сначала расти, а затем начнет спадать, колеблясь самым прихотливым образом вблизи края тени (фиг. 30.9). Посмотрим, отчего это происходит. Для объяснения воспользуемся недоказанной нами теоремой, что вместо истинной картины опыта можно ввести эффективные источники, равномерно распределенные вне объекта.

Представим себе эти эффективные источники в виде большого количества близко расположенных антенн и найдем интенсивность в некоторой точке Р . Это очень похоже на то, чем мы занимались до сих пор. Но не вполне, поскольку наш экран теперь находится не на бесконечности. В данном случае нас интересует интенсивность интерферирующих лучей на конечном расстоянии, а не на бесконечности. Интенсивность в некоторой точке дается суммой вкладов от каждой антенны. Сначала возьмем антенну в точке D, прямо напротив Р. Если слегка изменить угол, скажем, подняться на высоту h, лучу потребуется больше времени, чтобы попасть в точку Р (амплитуда тоже изменится, так как расстояние до источника увеличилось, но разница эта очень мала, поскольку расстояние все равно велико, и гораздо менее важна, чем изменение фазы излучения). Далее, разность EP-DP равна h 2/2s, т. е. разность фаз пропорциональна квадрату удаления от точки D , тогда как раньше у нас s было бесконечно и разность фаз была линейно связана с h. Когда фазы зависят от h линейно, каждый вектор повернут относительно предыдущего на постоянный угол. Теперь же мы должны построить кривую, складывая бесконечно малые векторы при условии, что образуемый ими угол с осью абсцисс растет с увеличением длины кривой не линейным, а квадратичным образом. Явный вид кривой находится с помощью довольно сложных математических методов, но мы всегда можем построить эту кривую, просто откладывая векторы под требуемым углом. В конечном счете мы получаем замечательную кривую (называемую спиралью Корню), изображенную на фиг. 30.8. Как ею пользоваться? Пусть требуется определить интенсивность, скажем, в точке Р .

Сложим волны с разными фазами от точки D вверх до бесконечности и вниз от D до точки В р. Таким образом, нужно отложить ряд стрелок под постоянно растущим углом, начиная с точки В рна фиг. 30.8.

Фиг. 30.8. Сложение амплитуд большого числа осцилляторов, излучающих с одной фазой. Разность фаз за счет запаздывания пропорциональна квадрату расстояния от точки D на фиг. 30.7.

Фиг. 30.9, Ход интенсивности вблизи края тени. Геометрический край menu находится в точке х 0 .

Весь вклад от области над В рдается спиральной кривой. Если бы суммирование заканчивалось в некоторой точке, то полная амплитуда представилась бы вектором от В рдо этой точки; в нашем случае суммирование ведется до бесконечности, так что искомая амплитуда есть вектор В р∞. Точка на кривой, соответствующая точке В рна предмете, зависит от положения точки Р, потому что точка D кривой (точка перегиба) всегда относится к выбранной точке Р. Следовательно, в зависимости от положения Р над В начальная точка, откуда проводится вектор, попадает в разные места нижней спирали, и результирующий вектор В р∞имеет многочисленные максимумы и минимумы (фиг. 30.9).

Но если мы находимся в точке Q, по другую сторону от Р, то нам понадобится только верхний конец спиральной кривой. Другими словами, начальной точкой результирующего вектора будет не D, а B Q, и, следовательно, книзу от Р интенсивность должна непрерывно падать при удалении Q в область тени.