Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

В этой главе мы будем обсуждать те же вопросы, что и в предыдущей, но с большими математическими подробностями. Качественно мы уже показали, что поле излучения двух источников имеет максимумы и минимумы, и теперь наша задача — дать математическое, а не просто качественное описание поля.

Мы вполне удовлетворительно разобрали физический смысл формулы (28.6), рассмотрим теперь некоторые ее математические черты. Прежде всего поле заряда, движущегося вверх и вниз с малой амплитудой в направлении 0 от оси движения, перпендикулярно лучу зрения и лежит в плоскости ускорения и луча зрения (фиг. 29.1).

Фиг. 29.1. Напряженность поля Е, создаваемая положительным зарядом с запаздывающим ускорением a'.

Обозначим расстояние через r, тогда в момент времени t величина электрического поля равна

(29.1)

где a( t - r / с ) — ускорение в момент времени (t-r/ с ), или запаздывающее ускорение.

Интересно нарисовать картину распределения поля в разных случаях. Наиболее характерный множитель в формуле (29.1) — это a (t-r/с); чтобы его понять, возьмем простейший случай θ=90° и изобразим поле на графике. Раньше мы были заняты вопросом, как ведет себя поле в данной фиксированной точке пространства с течением времени. Теперь посмотрим, как выглядит поле в разных точках пространства в один и тот же момент времени. Иначе говоря, нам нужен «моментальный снимок» поля, из которого будет ясно, каково оно в разных местах. Разумеется, картина распределения поля зависит от ускорения заряда. Зададим характер движения заряда: пусть сначала он покоится, затем внезапно начнет определенным образом ускоряться (как показано на фиг. 29.2) и, наконец, остановится.

Фиг. 29.2. Ускорение некоторого заряда как функция времени.

Затем, чуть позже, измерим поле в разных точках пространства. Мы можем утверждать, что поле будет иметь вид, приведенный на фиг. 29.3.

Фиг. 29.3. Электрическое поле как функция положения точки наблюдения спустя некоторый промежуток времени. Множителем 1/r пренебрегаем.

В самом деле, поле в каждой точке определяется ускорением заряда в предыдущий момент времени, причем под словом «предыдущий» понимается r/ с секунд назад. Чем дальше точка, тем более ранним моментом времени определяется для нее ускорение. Поэтому кривая на фиг. 29.3 в некотором смысле есть «обращенный» во времени график ускорения; время и расстояние отличаются постоянным множителем c, который часто выбирается равным единице. Этот факт легко заметить и в математической записи a(t-r/с). Ясно, что добавка интервала времени Δt и вычитание отрезка пути Δr=-cΔt дают одну и ту же величину a(t-r/с).

Другими словами, увеличив время на Δt, можно восстановить значение a(t-r/с) добавлением отрезка Δr=сΔt, т. е. поле распространяется со временем как волна, уходящая от источника . Вот почему иногда говорят, что свет движется как волна. Можно также сказать, что поле запаздывает во времени, или иначе, что поле распространяется вширь с течением времени.

Особый интерес представляет случай периодических колебаний заряда q. В опыте, рассмотренном в гл. 28, смещение зарядов x в момент t равнялось некоторой константе х 0, амплитуде колебаний, умноженной на cosωt. Ускорение в этом случае равно

(29.2)

где a 0, равное — ω 2 x 0, и есть амплитуда ускорения. Подставляя эту формулу в (29.1), находим

(29.3)

Отвлечемся пока от угла θ и постоянных и посмотрим, как ведет себя Е (29.3) в зависимости от времени или координат.