Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Второе замечание относительно движения центра масс. Его можно рассматривать отдельно от всех «внутренних» движений тела и, следовательно, его можно не учитывать при изучении вращения. Собственно поэтому мы начали изучать вращения с центра масс.

Поговорим теперь о вращении. Как известно, обычные предметы не вращаются просто так: они колеблются, вибрируют, изгибаются. Поэтому, чтобы упростить рассуждения, рассмотрим движение несуществующего идеального объекта, который мы назвали твердым телом . В таком объекте связи между атомами столь сильны, что те небольшие силы, которые необходимы, чтоб привести его в движение, не могут деформировать тело. Форма его все время остается одной и той же. Если мы хотим изучить движение такого тела и условимся не принимать во внимание движение его центра масс, то ему остается лишь вращаться . Вот это вращение мы и должны описать. Каким образом? Предположим, что в теле существует какая-то воображаемая неподвижная линия (она может проходить через центр масс, а может и не проходить); вокруг этой линии, как вокруг оси, вращается наше тело. Но как все-таки определить, что такое вращение? Сделать это совсем просто. Отметив какую-то точку на теле, где угодно, только не на оси, и зная, куда она перешла через некоторый промежуток времени, мы точно можем сказать, в каком положении находится тело. Единственное, что нужно знать для описания положения точки, — это угол . Таким образом, изучение вращения заключается в изучении изменения угла со временем.

Чтобы описать вращение, измерим угол, на который поворачивается тело. Разумеется, речь идет не об угле между двумя точками внутри самого тела или на теле, а об угловом изменении положения всего тела как целого от одного момента времени до другого.

Сначала давайте разберемся с кинематикой вращения. Изменение угла со временем очень похоже на изменение положения при одномерном движении; для плоского вращения мы можем говорить об угловом положении и угловой скорости. Между этими двумя движениями — плоским вращением и одномерным перемещением — существует очень интересная связь: почти каждая величина в одном случае имеет свой аналог в другом. Прежде всего угол θ, указывающий, насколько повернулось тело, соответствует пройденному точкой расстоянию s . Угловая скорость ω= d θ/ dt , которая показывает, с какой быстротой изменяется угол, соответствует обычной скорости v = ds / dt , описывающей быстроту изменения положения. Если угол измеряется в радианах, то угловая скорость ω равна какому-то числу радиан в секунду. Чем больше угловая скорость, тем быстрее вращается объект и тем быстрее изменяется угол. Если продифференцировать угловую скорость по времени, то получим величину α= d ω/ dt , которую мы будем называть угловым ускорением. Оно может служить аналогом обычного ускорения.

Теперь нам следует связать динамику вращения с динамикой частиц, из которых сделано тело, т. е. выяснить, как движется каждая данная частица, если угловая скорость составляет столько-то радиан в секунду. Для этого давайте возьмем какую-то частицу, расположенную на расстоянии r от оси, и будем, как обычно, говорить, что в данный момент времени она находится в определенном положении Р ( x, y ) (фиг. 18.1).

Фиг. 18.1. Кинематика двумерного вращения.

Через промежуток времени Δt тело целиком повернется на угол Δθ, а вместе с ним повернется и наша частица. Хотя расстояние от нее до оси вращения О остается тем же самым, она уже переместится в другую точку, Q . Первое, что хотелось бы знать, это насколько изменятся расстояния х и y. Если обозначить через r длину ОР , то длина PQ будет равна rΔθ (просто по определению угла). Тогда изменение расстояния х будет равно проекции rΔθ на ось х

(18.6)

Аналогично,

(18.7)

Если тело вращается с угловой скоростью ω, то, деля обе части равенства (18.6) и (18.7) на Δt, найдем компоненты скорости частицы