Маркус Чаун - Гравитация. Последнее искушение Эйнштейна

Вдумайтесь, какое это было невероятное открытие. Практически каждый, кто когда-либо размышлял над вопросом о движении планет, полагал, что существует какая-то сила, толкающая их вперёд по своим орбитам. Кто-то считал, что невидимые ангелы летят рядом с планетами и направляют их своим дыханием или биением крыльев. Кеплер представлял себе магнитные «спицы», исходящие от Солнца и заставляющие планеты поворачиваться вместе с ним. Французский математик Рене Декарт предпочитал идею солнечного водоворота, в котором планеты вращаются, как мусор, выброшенный в воду. Но Ньютон выбросил все эти идеи на свалку истории. Он понял, что второй закон Кеплера доказывает: никакая сила не заставляет планеты вращаться по своим орбитам.

Тот факт, что для тел, обладающих массой, естественным является движение по прямой, подсказал Ньютону, что именно делает сила тяготения, удерживающая планету на орбите вокруг Солнца. Она постоянно искривляет эту прямую, превращая её в круг.

Разумеется, исходя из первого закона Кеплера, Ньютон понимал, что траектории планет — это не круги, а эллипсы. Но эллипс — более сложная фигура, а эллиптические орбиты планет очень близки по форме к окружностям, поэтому Ньютон решился на такое обобщение.

Затем он задался вопросом: какая сила требуется, чтобы заставить тело двигаться по кругу, то есть чтобы постоянно изгибать естественный прямой путь своего движения? Другие учёные, включая Гука, уже знали ответ, но Ньютону об этом ничего не было известно.

Итак, Ньютон уселся за стол с листом пергаментной бумаги и нарисовал окружность радиусом r с лежащей на ней точкой, имеющей массу m . Он предположил, что эта масса движется со скоростью v . Оставалось лишь применить немного геометрии, чтобы рассчитать силу, необходимую для того, чтобы постоянно сбивать массу с её прямого пути. Она равняется произведению массы на квадрат скорости, делённому на радиус, или mv 2/ r .

На самом деле эта формула «центростремительной силы» основывается на здравом смысле. Предположим, вы привязали камень к концу верёвки и вращаете им над головой. Здравый смысл подсказывает, что чем тяжелее будет камень, тем сильнее вам придётся натягивать верёвку (то есть тем большую силу нужно будет приложить), чтобы камень не слетел со своей круговой траектории. Чем быстрее вы вращаете камень, тем выше будет значение необходимой сдерживающей силы. А чем короче верёвка, тем больше должно быть натяжение. [21] На самом деле путём простых рассуждений можно вычислить точную формулу центростремительной силы. Если тело медленно движется по кругу, то, чтобы предотвратить его отклонение от траектории, требуется лишь небольшая коррекция скорости по направлению к центру. Если же тело движется быстро, то и коррекция должна быть больше. Соответственно, коррекция скорости растёт вместе с самой скоростью тела (она пропорциональна v ). Ускорение тела — это быстрота, с которой изменяется его скорость, то есть изменение скорости за единицу времени. Время, которое требуется телу, чтобы пройти определённое расстояние, меньше при небольшом диаметре круга и больше при медленном движении (то есть оно пропорционально r / v ). Соответственно, ускорение пропорционально v , делённому на r / v , то есть v 2 / r . А сила, которая представляет собой массу, умноженную на ускорение, равняется mv 2 / r . Гравитация — это невидимая верёвка, которая удерживает планеты, не давая им разлететься по космосу.

Затем Ньютон задался ещё одним важным вопросом: если центростремительную силу, воздействующую на планеты, обеспечивает гравитация, как именно она должна изменяться по мере удаления от Солнца, чтобы обеспечить выполнение третьего закона Кеплера? Он понял, что сила уменьшается пропорционально квадрату расстояния. То есть если одна планета находится в два раза дальше от Солнца, чем другая, то сила, с которой на неё воздействует Солнце, окажется в четыре раза меньше. Если расстояние больше в три раза, то сила будет в девять раз меньше и так далее. [22] mv 2 / r = F ( r ). T 2 ~ r 3 => v 2 ~ 1/ r . Соответственно, F ( r ) ~ 1/ r 2 . Здесь под m подразумевается масса планеты, под v — её скорость, F — это сила гравитации, с которой на неё воздействует Солнце, а r — расстояние между Солнцем и планетой.

На небесах существовало ещё одно место, где Ньютон мог бы проверить свой закон обратных квадратов. Астрономы наблюдали за четырьмя лунами, вращающимися вокруг Юпитера (Ио, Европой, Ганимедом и Каллисто), с момента их обнаружения Галилеем в Падуе в 1610 году. Сравнительные расстояния между этими лунами и Юпитером уже были измерены, равно как и время, за которое каждая из них делает полный оборот вокруг планеты. Астрономы выяснили, что луны движутся по орбитам вокруг Юпитера точно так же, как планеты вокруг Солнца, то есть их периоды обращения различаются в зависимости от расстояния до Юпитера, как и предсказывает третий закон Кеплера. Итак, другие учёные уже сделали за Ньютона всю тяжёлую работу. Третий закон Кеплера — это неизбежное следствие того, что сила гравитации уменьшается с расстоянием в соответствии с принципом обратных квадратов. [23] С лунами Юпитера связана одна существенная аномалия, обнаруженная Олеафом Кристенсеном Рёмером в 1676 году. Датский астроном наблюдал за лунами, кружащимися вокруг Юпитера, и замерял время, требуемое каждой из них для прохождения своей орбиты. Так как они периодически заходили за диск Юпитера, момент появления из-за него считался хорошей точкой для начала отсчёта. Рёмер с удивлением обнаружил, что иногда луны отставали от своего графика, а иногда опережали его. Первое случалось в те моменты, когда Юпитер находился ближе всего к Земле, а второе — когда дальше всего от неё. Как же это объяснялось? Рёмер понял, что свету, испускаемому лунами Юпитера, требуется время, чтобы преодолеть расстояние до нашей планеты, и чем ближе Земля и Юпитер, тем это время короче. Вот почему луны появляются из-за планетного диска то раньше, то позже. Это явление продемонстрировало, что свет не перемещается мгновенно. Кроме того, зная точное расстояние, которое свету необходимо пройти, когда Юпитер находится на максимальном удалении от Земли (равное диаметру земной орбиты), и время задержки (22 минуты), Рёмер сумел провести первый в истории расчёт скорости света и принял её за 220 000 километров в секунду. Неплохо, учитывая, что современное значение составляет 299 792 километра в секунду. Причина ошибки Рёмера состояла в том, что он неверно рассчитал диаметр орбиты нашей планеты, а временная задержка составляла не 22 минуты, а 16 минут 40 секунд.