Александр Львовский - Отличная квантовая механика

Упражнение 1.6.Покажите математически, что для состояния |ψ⟩ сумма вероятностей регистрации (1.3) для всех элементов базиса составляет ⟨ψ|ψ⟩, т. е. равна единице, если состояние физическое.

Упражнение 1.7.Покажите, что применение общего фазового множителя к квантовому состоянию не меняет вероятностей результатов его измерения — в согласии с тем фактом, что фаза никак не влияет на физику состояния, о чем говорилось в предыдущем разделе.

Выше мы говорили о возможности повернуть PBS и изменить в результате этого прибор на рис. 1.2a так, что он будет измерять поляризацию в неканоническом, линейно поляризованном базисе. Однако фотон, отраженный PBS, не станет распространяться в горизонтальном направлении, а это неудобно при проведении практического лабораторного эксперимента (отступление 1.3). Поэтому большинство экспериментаторов пользуется оптическим элементом, известным как волновая пластинка [16] Сейчас подходящий момент, чтобы прочитать в приложении разд. В.3. , который переводит поляризованные состояния фотона одно в другое. Вот несколько примеров.

Упражнение 1.8.Покажите, что:

a) устройство на рис. 1.2b выполняет измерение поляризации фотона в диагональном (|±45º⟩) базисе;

b) устройство на рис. 1.2c выполняет это же измерение в круговом ({| R ⟩,| L ⟩}) базисе.

Подсказка:когда устройство, описанное в постулате об измерениях, измеряет одно из своих собственных базисных состояний |𝑣 i⟩, то результат измерения укажет на это состояние с вероятностью 1. Верно и обратное: если это устройство способно строго различить некий конкретный ортонормальный набор состояний, то мы можем сделать вывод, что этот набор является измерительным базисом данного устройства. Следовательно, чтобы выполнить это упражнение, достаточно показать, что базисные состояния [т. е. |±45º⟩ в варианте a) и | R ⟩, | L ⟩ в варианте b)] после PBS дадут щелчки на разных фотонных детекторах.

Отступление 1.3.Оптический стол

На этой фотографии вы видите типичный квантово-оптический эксперимент. Он выполняется на оптическом столе — массивной металлической плите, на которую устанавливаются различные оптические элементы, такие как линзы, зеркала, лазеры, кристаллы и детекторы. Лучи, как правило, проходят горизонтально, на одном уровне по всей длине стола.

Упражнение 1.9.§ Каждое из состояний | H ⟩, | V ⟩, |+⟩, |—⟩, | R ⟩, | L ⟩ измеряется в

a) каноническом,

b) диагональном,

c) круговом базисах.

Найдите вероятности возможных результатов для каждого случая.

Ответ:для каждого состояния, когда измерение производится в базисе, к которому принадлежит это состояние, вероятности составляют 0 и 1. Если же состояние не принадлежит к измерительному базису, то вероятность обоих результатов равняется

Упражнение 1.10.Предложите схему для квантового измерения в базисе

Упражнение 1.11.Предложите схему для квантового измерения в базисе {| R ⟩, | L ⟩}, в которой использовалась бы только одна волновая пластинка.

Упражнение 1.12.Рассмотрим фотон, который находится в состоянии не суперпозиции, а случайной статистической смеси , или ансамбля [17] Такие смешанные состояния не являются элементами квантового гильбертова пространства. Подробнее об этом см. подразд. 2.2.4. (statistical mixture/ensemble): либо | H ⟩ с вероятностью 1/2, либо | V ⟩ с вероятностью 1/2. Поляризация этого фотона измеряется в:

a) каноническом,

b) диагональном,

c) круговом базисах.

Найдите вероятности возможных результатов для каждого случая.

Упражнение 1.13.Фотон приготовлен с линейной поляризацией 30º к горизонтали. Найдите вероятность каждого результата, если его поляризация измеряется в:

a) каноническом,

b) диагональном и

c) круговом базисах.

Упражнение 1.14.Фотон в состоянии измеряется в диагональном базисе. Найдите вероятность каждого результата как функцию от ϕ.