Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Стандартная запись чисел

Размеры атомов и электронов крайне малы, а число их невообразимо велико. Если выражать массы атомов и электронов в обычных единицах, то получаются чрезвычайно маленькие числа, а если выражать величину электрического тока количеством протекающих электронов, то мы получим огромное число. В атомной физике и астрономии производят арифметические действия над огромными числами и очень малыми числами, которые всегда выражают в виде десятичных дробей. И с теми, и с другими числами оперировать весьма неудобно, если они записаны полностью, как в элементарной арифметике. Поэтому обычно используют стандартную форму записи таких чисел. Любое число представляется в виде числа с одной значащей цифрой перед запятой, умноженного на число 10 в соответствующей степени, например 2,3 х 10 6. Числа, записанные в стандартной форме, легко умножать (или делить), так как степени числа 10 просто складываются (или вычитаются).

При такой записи легко пользоваться счетной линейкой и при расчетах с помощью логарифмических таблиц. (Степень 10 дает непосредственно целую часть логарифма, а таблицы — дробную часть логарифма по первой части в стандартной записи.) Числом цифр после запятой можно охарактеризовать точность исходных данных или точность результата расчетов.

Например, толщина волоса близка к 0,00015 м.

Умножение этого числа на 10 дает 0,0015,

еще на 10 дает 0,015,

еще на 10 дает 0,15,

еще на 10 дает 1,5.

Отсюда стандартная запись числа:

0,00015 x 10 x 10 x 10 x 10 равно 1,5, или 0,00015 х 10 4= 1,5.

Следовательно,

0,00015 равно 1,5/10 4или 1,5 х 10 -4.

Это и есть стандартная запись числа 0,00015.

Если попытаться рассортировать волосы по толщине и измерить толщину волоса с большой точностью, то можно было бы найти волос диаметром, скажем, 0,0001502 м. Мы должны записать это число в виде 1,502 х 10 -4м. Сомневаясь в такой точности, можно отбросить две последние цифры и записать результат измерений в виде 1,50 x 10 -4м. Заметьте: 1,50 x 10 -4— это не то же самое, что 1,5 x 10 -4. Число 1,50 означает, что мы вполне уверены в цифре 1, вполне уверены в цифре 5 и считаем, что следующая цифра 0; она ближе к 0, чем к 1, или к цифре 9 числа 1,49. В то же время 1,5 означает число, лежащее где-то между 1,45 и 1,55.

Масса атома водорода равна

0,00000000000000000000000000166 кг.

Чтобы избавиться от одного нуля, нужно умножить это число на 10. Чтобы избавиться от всех двадцати шести нулей, нужно умножить его на 10 26, тогда получим 0,166. Умножение еще на 10 дает 1,66. Таким образом, чтобы получить число 1,66, следует передвинуть запятую на 27 разрядов вправо, т. е. произвести умножение на 10 27. Но масса атома должна остаться неизменной, значит, нужно разделить 1,66 на 10 27. «Разделить на 10 27» записывают как «умножить на 10 -27», следовательно, масса атома водорода равна 1,66 х -27кг.

Один килограмм гелия содержит

1500000000000000000000000000 атомов гелия.

В стандартной форме это число будет записано в виде 1,5 х 10 27.

Чтобы перемножить числа, записанные в стандартной форме, нужно перемножить их «главные части» на линейке и сложить оба показателя степени числа 10 — сумма показателей даст новый показатель степени десяти.

Чтобы разделить одно число на другое, нужно вычесть из одного показателя степени числа 10 другой. Например,

a) (3,1 x 10 4)x(2,0 x 10 3) = 6,2 x 10 4+3= 6,2 x 10 7,

б) (3,1 x 10 -4)х(2,0 x 10 +1) = 6,2 x 10 -4+1= 6,2 x 10 -3

в) 3,1 x 10 4/2,0 x 10 3 = 1,55 х 10 4–3= 1,55 х 10 1

г) 3,1 x 10 -4/2,0 x 10 +1 = 1,55 х 10 -4-1 = 1,55 х 10 -5

д) 3,1 x 10 -4/2,0 x 10 -7 = 1,55 х 10 -4-(-7) = 1,55 х 10 +3

е) (3,1 x 10 -4х 6,0 x 10 7)/(2,0 x 10 -3 х 1,55 x 10 2) = 6,0 х 10 -4+7-(-3)-2=

= 6,0 х 10 -4+7+3–2= 6,0 х 10 4

Счетная линейка

Счетная линейка позволяет легко и быстро умножать и делить числа, если научиться оценивать доли мелких делений линейки. Но линейка ничего не говорит о том, где должна стоять запятая. Чтобы установить положение запятой, нужно либо проделать грубый подсчет в уме, либо записать все числа, над которыми производятся действия, в стандартной форме и после этого сделать приближенный расчет. Например, требуется вычислить

(126 x 79,2 x 0,074)/(0,00521 x 876)

Линейка дает 1618. Грубый подсчет дает

(120 х 80 х 7/ 100)/( 5/ 1000х 800), или (120 х 7)/5, или примерно 160