Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Диаметр молекулы. Соотношение πD 2L = D 3

Между средним свободным пробегом L и диаметром d существует однозначная связь: чем больше d , тем больше площадь мишени при столкновении и тем меньше длина свободного пробега. Можно показать, что π D 2 L = объему, который в среднем приходится на одну молекулу в газе, т. е. D 3. Геометрическое доказательство изложено ниже. Затем мы воспользуемся этим результатом для вычисления диаметра d из L и отношения объемов D 3/ d 3.

* * *

Вычисление случайных блужданий («путь пьяницы»)

Молекулы брома мечутся между молекулами, воздуха, получая удар за ударом и меняя направление после каждого из них. Насколько при этом им удается в среднем продвинуться вперед?

Образец подобного движения можно понаблюдать на примере пьяного человека, возвращающегося туманной ночью с вечеринки. Выпустив из объятий фонарный столб, он делает один шаг, затем забывает о нем и делает второй, но уже в другом направлении, забывает и о нем и делает третий шаг… и так далее — N шагов в совершенно произвольных направлениях. На какое расстояние он отдалится от спасительного фонарного столба? Он может вернуться опять к столбу или оказаться очень близко от него. Он может отойти от столба на N шагов (в том редком случае, когда все шаги устремлены в одном направлении), но это маловероятна. Его перемещение по прямой лежит между 0 и N шагами. Мы же хотим найти среднюю величину перемещения, усредненную по множеству таких продвижений, состоящих из N шагов.

Пусть человек вновь и вновь повторяет свою «прогулку» сначала. После каждой прогулки мы будем измерять его перемещение S . Усредним S по этим прогулкам. Для удобства будем искать среднее значение S 2, а затем извлечем квадратный корень, получив среднее квадратичное значение. Покажем, что это среднее должно приближаться к √ N шагов (Например, если за основу берем 100 шагов, то ожидаем, что человек уйдет только на 10 шагов от начального места.) Вот доказательство в двумерном случае (трехмерный случай рассматривается так же).

Нарисуем несколько первых шагов хаотического движения. Пусть длина каждого шага равна L , а всего имеется N шагов. Воспользовавшись координатами х и у , разложим первый шаг на компоненты х 1и у 1, второй шаг на компоненты х 2и у 2и т. д. Для первого шага х 1 2 + у 1 2= L 2, аналогично и для других шагов. Компоненты х и у перемещения S будут соответственно равны

( x 1+ x 2+… + x N)

и

( y 1+ y 2+… + y N),

S 2= ( x 1+ x 2+… + x N) 2+ ( y 1+ y 2+… + y N) 2 =

= х 1 2 + x 2 2+… + 2 х 1 x 2+ 2 х 1 x 3 +… + y 1 2 + y 2 2+… + 2 y 1 y 2+ 2 y 1 y 3 +… =

= L 2+ L 2+ НУЛЬ = N∙ L 2

«Смешанные слагаемые», наподобие 2 х 1 x 2, при усреднении по многим блужданиям дают нуль, ибо эти слагаемые могут одинаково часто быть как положительными, так и отрицательными и иметь величину от 0 до 2 L 2. То же справедливо и для «смешанных слагаемых» с у . Поэтому среднее значение S= √( N)∙ L

Доказательство станет нагляднее, если применит тригонометрию и разложить каждый шаг на горизонтальную и вертикальную компоненты: L ∙cos θ и L ∙sin θ . Тогда пара смешанных слагаемых, наподобие 2 L 2∙cos θ 1∙cos θ 2и 2 L 2∙sin θ 1∙sin θ 2, складывается в 2 L 2∙cos ( θ 1— θ 2), а косинус одинаково часто бывает как положительным, так и отрицательным, давая в среднем нуль.

* * *

При столкновении двух молекул расстояние между их центрами равно радиусу одной + радиус второй молекул, т. е. диаметру d . Для упрощения будем считать, что радиус одной из сталкивающихся молекул равен d , а вторая молекула — просто точка (фиг. 101).

Фиг. 101. Упрощенная геометрия свободного пробега.

Расстояние между их центрами при соударении прежнему будет d . Представим теперь, что мы стреляем точечной молекулой по системе из ячеек с ребром D , каждая из которых содержит по одной молекуле-мишени радиусом d (фиг. 102). Летящая молекула проходит первый ряд ячеек, но, вероятнее всего, не попадает в цель, которая находится где-то внутри ячейки.