Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Рис. 9.13.Вы стартуете на экваторе и упорно шагаете вверх по гринвичскому меридиану (0° долготы), все время лицом вперед. Я делаю то же самое, но начинаю из точки экватора при 90° западной долготы. Когда мы достигаем полюса, наши носы сталкиваются. Поэтому эти два меридиана не параллельны: в такой геометрии нет параллельных линий. Данная иллюстрация также показывает, как представить себе двумерную поверхность однородной положительной кривизны в виде поверхности трехмерной сферы. Мы говорим, что двумерная поверхность «вложена» в двумерное пространство.

Немедленным следствием существования неевклидовых геометрий является вывод, что геометрия есть наука экспериментальная, а не нечто (как думал Иммануил Кант, о чем мы узнаем в главе 10), справедливость чего можно установить одной лишь интроспекцией. Одна лишь интроспекция никогда не приводит к истине, что так чудесно проиллюстрировал Аристотель; интроспекция в союзе с экспериментом, конечно — темой нашей книги, — является необычайно чудесным и надежным гидом, что так великолепно проиллюстрировал Галилей. Мы стоим перед выбором перспективы для геометрии пространства: быть ли ей евклидовой, как, сидя в своих креслах, целых 2000 лет полагали Евклид и его последователи, или неевклидовой. Чтобы решить этот вопрос, мы должны обратиться к эксперименту и увидеть, например, столкнемся ли мы носами, если будем идти по параллельным путям достаточно далеко. Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), один из величайших математиков, имел некоторое представление о том, что у евклидовой геометрии могут быть конкуренты:

На самом деле, поэтому я время от времени в шутку выражаю пожелание, чтобы геометрия Евклида была неверна.

Однажды этот концептуальный тупик был пробит в наибольшей мере немецким математиком с трагически короткой жизнью, Бернхардом Риманом (1826-1866). В своей выдающейся лекции, прочитанной в 1854 г. по случаю вступления в должность, он дал человеческому уму свободу, достаточную для того, чтобы вообразить себе неевклидовы пространства уже и с отрицательной кривизной. Рисунок 9.14 показывает двумерную поверхность отрицательной кривизны, вложенную в трехмерное пространство. Когда вы сидите в седле, вас поддерживает двумерная поверхность отрицательной кривизны. В этом пространстве через заданную точку можно провести бесконечное число линий, параллельных данной.

Рис. 9.14.Двумерная поверхность с отрицательной кривизной седлообразной формы, вложенная в трехмерное пространство.

Коль скоро мы преодолели интеллектуальный бугор и признали то обстоятельство, что существуют разные типы неевклидовых геометрий, мы способны перейти к представлению о пространстве, геометрия которого может меняться от места к месту. То есть различные области — пространства могут иметь разную кривизну. Например, мы можем представить себе пространство, похожее на гантель, полученное сжатием сферы в области экватора, превращающем его в талию гантели. Это пространство будет иметь положительную кривизну около полюсов и отрицательную кривизну в седлообразной окрестности экватора. Мы могли бы пойти дальше и вообразить более сложные пространства, втыкая пальцы в эту поверхность и создавая небольшие кратеры, испещряющие ее так, чтобы кривизна менялась от места к месту. Вам может понравиться рассматривать повседневные объекты, которые имеют поверхности с кривизной, меняющейся от места к месту (например, вы сами).

Когда мы думаем о пространствах, вложенных в пространства более высокой размерности, мы встаем на точку зрения надменного сверхсущества, которое может судить на глазок, имеется ли тут кривизна. Предположим, однако, что мы муравьи, и наше воображение ограничено реальным пространством, в котором мы обитаем: может ли муравей узнать, искривлена ли Земля, можем ли мы определить, искривлено ли наше пространство-время? Ответ уже следует из текущего обсуждения, поскольку путешествия, которые вы и я предприняли, и вопрос о том, столкнемся ли мы с вами нос к носу или нет, можно представить себе имеющими место на поверхности, независимо от того, считаем мы ее во что-то вложенной или нет. Таким образом, если вы и я отправляемся по двум параллельным с виду путям и сталкиваемся носами, то мы знаем, что пространство, в котором мы пребываем, имеет положительную кривизну. Это заключение не зависит от того, можем ли мы вообразить наше пространство вложенным в пространство более высокой размерности или нет.