Айзек Азимов - Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики

Различие между массой и весом, которое кажется настолько непринципиальным на Земле, является поэтому совсем не тривиальным, когда мы находимся в космическом пространстве, и легко может стать вопросом жизни и смерти.

По мере того как объект падает на землю со все большей и большей высоты, время, которое требуется объекту, чтобы достичь ее, увеличивается, а объект приближается к земле со все более и более высокой скоростью. Если мы воспользуемся уравнениями 2.1 и 2.2, подставив в этих уравнениях значение a, равное 9,8 м/с 2(ускорение свободного падения), то можем сделать некоторые легкие вычисления. Тело, упавшее с высоты 4,9 метра, ударится о землю через одну секунду и будет перемешаться в момент соударения со скоростью 9,8 м/с. Если отпустить тело с высоты 19,6 метра, оно ударилось бы о землю через две секунды, а скорость его была бы соответственно 19,6 м/с. Если отпустить тело с высоты 44,1 метра, оно ударилось бы о землю через три секунды, перемещаясь в момент контакта с землей со скоростью 29,4 м/с.

Казалось бы, что если вы бы только могли поднять объект на достаточно большую высоту, то достигли бы такой высокой скорости соударения, какой вам захотелось. Конечно, это кажется верным, но только в том случае, если значение достается одним и тем же для любых высот.

Но значение g не является константой; оно уменьшается с высотой. Значение g изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от объекта до центра Земли. Точка подъема в 6370 километрах над поверхностью Земли будет на самом деле на высоте 12 740 километров от Земли, поскольку мы рассчитываем расстояние до центра — в два раза дальше от центра, чем от поверхности. А значение g на такой высоте равно всего лишь 1/ 4того, каким оно является на поверхности.

Объект, падающий из состояния покоя, с высоты 6370 километров над поверхностью Земли, в первую секунду разовьет скорость, равную лишь 2,45 м/с, вместо 9,8 м/с, которых он достиг бы после одной секунды падения в непосредственной близости от поверхности Земли.

Но поскольку тело продолжает падать и приближаться к Земле, значение g, конечно, постоянно возрастает и в конце падения достигает 9,8 м/с 2. Однако падающее тело не ударилось бы о поверхность Земли со столь же высокой скоростью соударения, как оно бы сделало, если бы значение g было равно 9,8 м/с 2на протяжении всего его пути вниз.

Представьте себе тело, брошенное сначала с высоты 1000 километров, затем — с высоты 2000 километров, затем — с 3000 километров и так далее. Падение с высоты в 1000 километров закончилось бы скоростью соударения, равной v 1. Если бы значение #было постоянным, то падение с высоты 2000 километров вызвало бы увеличение в скорости на первых 1000 километрах, равное увеличению на вторых 1000 километрах, так что окончательная скорость соударения была бы v 1+ v 2, или 2v 1. Однако верхние 1000 километров представляют собой ту часть расстояния, на котором значение g меньше, чем на более низких 1000 километрах. Соответственно движение по этой половине дистанции добавляет меньшее количество скорости, чем при движении по более низкой половине, и заключительная скорость соударения равна v 1+ v 2, где v 2меньше, чем v 1. Те же самые аргументы могут быть повторены для других частей дистанции, таким образом, падение с высоты 10 000 километров закончилось бы со скоростью соударения, равной v 1+ v 2+ v 3+ v 4и так далее, до v 10. Здесь каждый символ представляет собой часть заключительной скорости, привнесенной в окончательную все более и более высокими частями дистанции, каждая из которых равна 1000 километров, и значение каждого следующего символа меньше, чем таковое предшествующего.

Всякий раз, когда вы видите перед собой ряд чисел, каждое из которых меньше, чем предыдущее, имеется возможность наличия сходящегося ряда. В таком ряде сумма чисел никогда не превосходит некоторое установленное значение — предел суммы — независимо от того, сколько чисел добавлено. Наиболее хорошо известный случай такого сходящегося ряда — это 1 + ½ + ¼ + 1/ 8+ 1/ 16, в котором каждое следующее число — половина предыдущего. Сумма первых двух чисел — 1,5; сумма первых трех чисел — 1,75; сумма первых четырех чисел — 1,875; сумма первых пяти чисел — 1,9325 и так далее. По мере добавления в ряд все большего количества чисел сумма становится все больше и приближается к 2, никогда не достигая его. Предел суммы этого своеобразного числового ряда равен 2.

Оказывается, что числа, представляющие собой приращения скорости, получаемые в результате падения тела со все большей высоты, действительно образуют сходящийся ряд. Поскольку тело падает со все большей и большей высоты, окончательная скорость соударения не увеличивается беспредельно; вместо этого она имеет тенденцию стремиться к некоторой предельной скорости, превзойти которую не может.