Г Гутнер - Онтология математического дискурса

Примечания к Главе 4

1. Все это прекрасно описано, например, в "Геометрии" Декарта. вернуться в текст

2. Таким "дополнительным построением" является, например, умножение в столбик многоразрядных чисел. Поскольку, впрочем, эта операция освоена всеми в начальных классах школы, то для ее выполнения вовсе не нужно действия рефлектирующей способности суждения. Можно однако представить себе как действует эта способность, если названный метод вычисления находится нами впервые и мы располагаем лишь общим определением умножения и рядом единичных примеров перемножения одноразрядных чисел. Вообще действие рефлектирующей способности суждения становится очевидным при выполнении такого вычисления, для которого не разработано общей методики. вернуться в текст

3. Именование непостроенного объекта происходит и в алгебре. В нашем примере оно также имело место, когда мы обозначили степень полинома буквой 'n'. вернуться в текст

4. Сам Беркли считал, что никакими общими понятиями человек обладать не может. Есть лишь общие слова, служащие для обозначения многих частных идей ([6], c.158-162). вернуться в текст

5. Рассуждение Беркли может иметь нечто общее с брауэровским проектом построения математики. Желание ограничить предмет математики конечными числовыми конструкциями, полностью представимыми в воображении, близко к намерению не выходить за пределы чувственных восприятий. Хотя оба мыслителя совершенно по-разному представляли себе деятельность математика и природу математических объектов, однако их сближает некий радикализм в попытке ограничения сферы исследования этой науки. Насколько нам известно, в истории математики нет других примеров такого рода - когда бы предлагалось практически ликвидировать целые математические дисциплины. вернуться в текст

6. Е.Д. Смирнова, сопоставляя взгляды Гильберта с философией Канта, указывает на связь идеальных элементов с трансцендентальными идеями разума. Именно действие разума позволяет выйти за рамки пространственно-временных отношений и перейти к рассмотрению понятий, не описывающих ничего, что лежало бы в ряду явлений. Мы не можем согласиться с такой интерпретацией, поскольку, считаем, что своим появлением в математическом рассуждении идеальные элементы обязаны не разуму, а способности суждения. Хотя при определении этих элементов и происходит "отлет от реальности" (выражение Е.Д. Смирновой), но все же их введение приводит к созданию новой реальности - дискурсивной конструкции, разворачиваемой в пространстве и времени. (Заметим, что слово "реальность" понимается здесь строго в кантовском смысле - см. Примечание 2 к Главе 3.) Акт рефлективной способности суждения как раз и подразумевает такое, если можно так выразиться, квази-трансцендирование, уход от реальности наличного опыта (но не выход за пределы возможного опыта). Именно в таком действии и состоит смысл финитной установки - всякое обоснование должно быть основано на предъявлении конечного, доступного созерцанию объекта. Поэтому для понятия идеального элемента (например, для понятия бесконечно удаленной точки или трансфинитного числа) чувства могут дать адекватный предмет (ср. B383 "Под идеей я разумею необходимое понятие разума, для которого чувства не могут дать адекватного предмета."). Дискурсивная конструкция в самом деле есть адекватный предмет для понятия идеального элемента, поскольку помимо этого дискурса его вообще невозможно мыслить. Трансцендентальные идеи призваны играть в рассуждении иную (хотя в чем-то и близкую) роль нежели идеальные элементы. Идея создает целостность условий, т.е. безусловное единство в бесконечном ряду обусловленного (см. B379). Идеальные элементы также создают единство, но отнюдь не безусловное, а весьма относительное. Введение числа w - порядкового типа множества натуральных чисел - создает единство в натуральном ряду, т.е. является условием единства натурального ряда. Но порядковые типы можно множить до бесконечности, причем каждое последующее будет условием единства для ряда предыдущих. Единственное, что может претендовать на роль трансцендентального понятия, - это "множество всех чисел", которое нельзя мыслить без противоречия. Трудно сказать, есть ли прямая связь между антиномиями чистого разума и канторовскими парадоксами, но определенная аналогия все же усматривается. вернуться в текст

Заключение

В качестве итога проведенного исследования мы можем теперь определить ряд выявленных в нем онтологических категорий.