Г Гутнер - Онтология математического дискурса

Противопоставление категорий сущности и структуры при исследовании природы и онтологического статуса математических объектов является главной методологической посылкой нашего исследования. Его целью является попытка развития трансцендентального подхода к рассмотрению математического мышления и предмета математики. При этом мы будем обращаться к категориям, разработанным преимущественно Кассирером и Кантом. Одной из наших целей будет обоснование тезиса, обратного к только что сформулированному. Мы попытаемся показать, что всякое трансцендентальное рассмотрение обязательно приведет к пониманию существования как существования элемента в пределах заданной структуры отношений.

Противопоставление двух выделенных в настоящем Введении подходов к определение природы математических объектов и их онтологического статуса довольно заметно в современной философии математики. Каждый из этих подходов весьма интенсивно развивался в XX столетии и достаточно явно оформился в виде направлений, известных под именами математического реализма и математического структурализма. Первый характеризуется (см. [5], c. 144) как тенденция "рассматривать математические объекты: числа, фигуры, множества как существующие в особом мире, данные до их собственно математического анализа". Беляев и Перминов - авторы цитированной здесь характеристики - возводят эту тенденцию к Платону и Лейбницу, для которых "математические утверждения ... отражают мир вечных и идеальных сущностей" (с. 146). Современный математический реализм они связывают, прежде всего, с именами Фреге и Рассела (с. 146). Здесь речь должна идти по преимуществу о попытке определения числа на основании логических аксиом. Эта попытка приводит к пониманию числа как универсалии, она подразумевает определение "единственного и вполне конкретного объекта, а именно натурального числа самого по себе, в его свойствах" (с. 147).

Дальнейшее развитие этого направления связано с работами Бернайса[63] (См. примечание 5) и Г?деля [69] и [70]. Исследования Г?деля интересны в частности тем, что развивают своего рода реалистическую гносеологию. В них делается попытка объяснения, каким образом независимые от человека сущности математического мира становятся доступными познанию. Г?дель основывает математическое знание на особой интуиции, способности непосредственно обнаруживать свойства математических сущностей и формулировать их в виде аксиом. Такое непосредственное обнаружение Г?дель уподобляет чувственному восприятию в естествознании. Числа, геометрические фигуры или множества, воспринимаемые интуицией, он полагает столь же реальными как физические тела, воспринимаемые чувствами. Интуиция при этом не только позволяет непосредственно видеть определенные факты, но также выступает как критерий истинности математических утверждений более общего характера, которые не являются интуитивно ясными, но оказываются плодотворными при выводе теорем. "Могут существовать аксиомы столь богатые поддающимися проверке следствиями, проливающие столь много света на всю область и приносящие столь мощные методы решения проблем, что не имеет значения являются ли они интуитивно ясными или нет, их следует принять, по крайней мере так же, как и всякую хорошо обоснованную физическую теорию" ([70], c. 477). Следовательно, факты, принимаемые несмотря на их недоступность интуиции подобны постулатам физических теорий, связывающим в единое целое совокупность чувственно воспринимаемых явлений.

На параллелизм математического и естественнонаучного знания указывает современная американская исследовательница П.Мэдди. В своей монографии, посвященной реализму в математике [77], она делает довольно полный обзор существующих ныне реалистических концепций и, разбирая их проблемы, дает собственную версию математического "платонизма". Приводимое ей общее "кредо" всего исследуемого направления выглядит так: "математика есть научное рассмотрение объективно существующих предметов (entities), точно так же, как физика есть изучение физических сущностей" (с. 21). Мэдди указывает на слабую сторону представленного взгляда - она состоит в том, что такие математические сущности, если они совершенно независимы от нашей мысли, должны быть полностью ей трансцендентны и совершенно неясно как они могут стать достоянием научного знания. (Мы видели, что эту проблему пытался решать и Г?дель). Сильной стороной реализма она считает тот факт, что с его позиций можно объяснить необычайную эффективность математики в исследовании физического мира. Если реальность математических предметов такова, как реальность физических тел, то мы можем мыслить некий единый мир, состоящий из физических и математических сущностей, находящихся в стройном взаимодействии. Свои усилия Мэдди направляет в значительной мере на преодоление указанной ей трудности, уделяя, вслед за Г?делем, большое внимание проблеме интуиции.