Л. Науменко - Монизм как принцип диалектической логики

Вопрос о природе математического познания необходимо должен рассматриваться в двух планах: в плане внутренней логики науки и в плане отношения науки в целом к реальности. История неевклидовой геометрии продемонстрировала полную несостоятельность сведéния математики к физике, несостоятельность натуралистических концепций этой науки. По мнению философов-идеалистов, крах натуралистических иллюзий свидетельствует вообще о крахе материалистических позиций в математике вообще, об элиминации второго плана. А это совсем не так.

Математика – не физика. Но и физика – еще не вся реальность. Математическое познание движется в рамках определенной научной абстракции, определенного «среза» реальности, зафиксированного в аппарате этой науки, в системе средств выражения предметных отношений, моделирующей эти последние. При этом сама математика не задается вопросом о природе этой абстракции. А до тех пор, пока она не задается этими вопросами, все ее проблемы остаются собственно математическими. Выявление этого собственно математического аспекта составило важную заслугу неевклидовой геометрии. Однако не к нему сводится все дело.

Обратимся прежде всего к собственно математическому аспекту, оставляя пока в стороне проблему реальности.

В этом аспекте развитие математики подчиняется принципу монизма, требующему развивать науку в ее собственной, присущей ей внутренней связи. В чем же состоит эта «собственная связь»?

Как известно, Н.И. Лобачевский назвал свою геометрию «воображаемой» геометрией, т.е. геометрией «математически возможного» пространства. Однако это пространство он не мог себе представить даже в воображении. То, что математически представлялось ему естественным и необходимым, физически не было ясно ни ему самому, ни, тем более, его современникам.

Но если Лобачевский уже понимал различие, существующее между геометрией как математикой и геометрией как физикой, то этого нельзя сказать о его современниках, даже о таких, как Н.В. Остроградский, которые расценивали «воображаемую» геометрию как продукт больного воображения, как нечто абсурдное и химерическое.

Геометрия Лобачевского для них оказалась недействительной именно потому, что она была недействительна физически, а не математически, потому что описываемое в ней пространство нельзя было наглядно представить как существующее . В действительности же в задачу геометрии как математики и не входит описание существующего физического пространства, если ее рассматривать с имманентной точки зрения. Пространственную модель геометрии как математической системы в одних случаях можно построить, в других это оказывается прямо невозможным.

(Что касается геометрии Лобачевского, то модель плоскости, на которой осуществляются ее теоремы, была построена в 1865 г. итальянским математиком Бельтрами. Это так называемая псевдосферическая поверхность, на которой геометрия Лобачевского осуществляется лишь частично. Более совершенную модель построил позднее Ф. Клейн (геометрия в круге при сохранении неевклидовой метрики). Наконец, для всей геометрии Лобачевского была построена универсальная аналитическая модель – как применение теории Ф. Клейна и С. Ли о группах непрерывных преобразований. Для других, скажем, для бесконечномерных геометрий, построить пространственную модель оказывается вообще невозможным.)

Изыскание физического, эмпирического смысла геометрических понятий в задачу геометрии как математики не входит. Ее задачей является лишь выведение определенности «сложного выражения из определенности его элементарных выражений; ее интересует лишь взаимное отношение выводимости этих выражений, а не эти образы сами по себе. Поэтому, строя свою систему аксиоматики геометрии, Гильберт исходит из убеждения, что абсолютный смысл таких геометрических понятий, как точка, прямая и плоскость, не имеет никакого реального значения; и если бы кто-либо никогда не видел ни точки, ни прямой, ни плоскости, он «построил бы геометрию не хуже нас».

Сколько ни был бы нам интуитивно известен такой геометрический образ, как прямая, геометрически он действителен для нас только как выражение, которое удовлетворяет определенной аксиоматике, – аксиоматике прямой. Сколько нам ни были бы интуитивно очевидны свойства круга, для геометрии даже простейшая теорема о круге – что все его диаметры равны, так как они вдвое больше радиусов, которые равны по определению, – не обосновывается тем, что «круг повсюду одинаково круглый», т.е. постоянством его непосредственного имплицитного свойства, а постоянством его радиуса.