Б. Бирюков - Теория смысла Готлоба Фреге

Однако последнее предложение естественно представляется имеющим уже совсем иной смысл, нежели (А), что объясняется тенденцией рассматривать «Ф» в этом предложении как выражение, употребленное автонимно .

38Пример рассматривается Чёрчем в [22].

39Применение его предполагает, что мы можем отличить употребление имени (прямое или косвенное) от его упоминания.

40Но не всякое придаточное предложение, выражающее косвенную речь, относится к этой группе. См. ниже.

41Так мы переводим определенный артикль немецкого языка.

42Другим примером придаточных предложений, содержащих неопределенно указывающие выражения, являются условные предложения, выражающие всеобщность, например: «Когда Солнце находится в Тропике Рака, в Северном полушарии самый короткий день» и «Если x › 0, то x + 3x › 0». В первом из предложений неопределенное указание касается времени и выражается формой настоящего времени глагола. Во втором примере неопределенно указывающей частью является переменная x . Свое учение о переменных Фреге изложил в [8]. Современная математическая логика в понимании переменных в целом следует по пути, намеченном Фреге.

43Имеется в виду битва при Ватерлоо.

44Фреге отмечает, что в отношении предложений типа (13) следует ввести следующее ограничение: у заменяющего предложения должен быть тот же субъект, что и у заменяемого. Ограничение отпадает, если допустить соединение при помощи союза «и», считая предложение (13) совпадающим по смыслу и значению с предложением «Наполеон понял опасность, угрожавшую его правому флангу, и Наполеон сам повел свою гвардию в наступление на позиции неприятеля».

45Термина «предикат» в том смысле, в каком его употребляют в современной логике (как выражение, равнозначное выражению «логическая функция») Фреге не применяет. Логические функции от одного аргумента он называет понятиями (причем фрегевские понятия совпадают с общими свойствами), а логические функции от двух аргументов – отношениями.

Следует иметь в виду, что в системе Фреге каждая логическая функция определена на универсальной предметной области, включающей в себя любые объекты (Фреге не налагает никаких ограничений на выражение «любой»). Эта особенность исчисления Фреге обусловила его противоречивость (противоречие в системе Фреге было обнаружено Б. Расселом).

46О фрегевском понимании объема понятия см. [32].

47«p» и «q» суть предметные переменные (на их место можно подставлять имена предметов из предметной области), а «Ф» есть переменная для предложений; знак «=» означает тождество предметов, а «≡» служит для обозначения эквивалентности предложений в отношении истинности и ложности («двойная импликация»). Употребление свободных переменных при записи этого правила выражает всеобщность. Горизонтальная черта есть знак вывода, а стрелки указывают на выводимость верхней формулы из нижней и нижней из верхней.

48Предполагается, разумеется, что логика данной науки основана на принципе объемности.

49Именно так понимал дело Фреге. Он не проводил полного отождествления понятия с его объемом. Он не считал, что обнаруживающееся между двумя равнообъемными понятиями отношение равенства стирает всякие различия между ними и превращает их в одно понятие. Возражая Б. Керри, Фреге писал: «Если он думает, что я отождествляю понятие и объем понятия, то он ошибается» [7, стр. 198]. Несмотря на это, Фреге в целом стоял на объемной точке зрения.

50Именно так в реальном мышлении понимаются свойства. Быть прямой, соединяющей вершину равностороннего треугольника с серединой противоположной стороны, и быть прямой, делящей угол равностороннего треугольника пополам, считаются обычно различными свойствами, хотя с объемной точки зрения они совпадают.

51Интересно отметить следующий исторический факт. Известно, что продолжатель дела Дж. Буля и А. де-Моргана английский логик Стенли Джевонс в основу своей теории положил так называемый принцип замещения. Этот принцип фактически представлял собой неточно сформулированный фрегевский принцип замены равнозначного на равнозначное (для того частного случая, когда заменяемое выражение входит в состав предложения). Джевонс придавал этому принципу универсальное значение, утверждая, что «всякий термин, встречающийся в каком-либо предложении, можно замещать термином, о котором утверждается в какой-либо посылке, что он тождествен с первым» [12, стр. 48]. Что в отношении предложений, содержащих косвенную речь, это его утверждение ошибочно, он, по-видимому, не заметил. Объяснялось это, вероятно, тем, что Джевонсу был совершенно чужд семантический аспект логики. В отличие от своего соотечественника Д.-С. Милля он не понимал, что изучение отношения языковых выражений к объектам, о которых мы говорим с их помощью, имеет существенное значение для логики. Поэтому он прошел мимо интенциональных контекстов, в отношении которых его принцип замещения был непосредственно неприменим.