Алексей Лосев - Хаос и структура

Бытие числа (интенсивное число). Науки о бытии или сущности числа можно представить, согласно А. Ф. Лосеву, в виде диалектической триады:

a) арифметика и алгебра как учения о неизменной сущности числа, о постоянных величинах и их функциях,

b) дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления как учения об инобытийной изменчивости числа, о переменных величинах и их функциях в скалярной форме,

c) векторное и тензорное исчисления как учения о действительности числа, о числе синтетическом, ориентированном, направленном (442).

Здесь второй и третий разделы, если опираться только на «Диалектические основы математики», также следует считать утраченными. Однако определенный анализ диалектической сущности, например, интеграла и дифференциала также отыскивается в книге «Музыка как предмет логики». Утрату содержательной части второго раздела в некоторой мере восполняет публикуемая в настоящем томе работа А. Ф. Лосева «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых».

Арифметика и алгебра. Внутри первой сферы интенсивного числа А. Ф. Лосев выделяет очередную триадическую структуру:

a) арифметика как учение о непосредственной сущности числа в ее бытии, о числе в себе,

b) алгебра как учение о непосредственной сущности числа в ее инобытии, о числе функционально выраженном,

с) алгебраический анализ (теории форм, инвариантов и др.) как учение о непосредственной сущности числа в ее становлении (430, 446).

Как следует из публикуемого «Содержания» первой книги «Диалектических основ математики» (23), степень детализации построений лосевской метаматематики была столь велика, что к темам алгебры переход планировался лишь в самом конце целого тома. Все дальнейшее кануло в Лету. Да и от собственно арифметической части книги сохранилось далеко не все. Так что, предприняв еще одно посещение мира числовых триад, нам остается назвать и последние структуры, и последние утраты.

Арифметика. Внутри арифметики, согласно общедиалектической схеме А. Ф. Лосева, следует различать:

a) натуральный ряд как бытие сущности числа, как акт ее полагания,

b) типы чисел (отрицательные, рациональные, мнимые и др.) как инобытие чисел натурального ряда,

c) действие с числами как становление сущности числа, типы чисел в разнообразных направлениях и комбинациях счета (ООО).

Сохранившийся текст «Диалектических основ математики» обрывается на материалах заключительной части второго из названных разделов. Впрочем, в предыдущем изложении заключено достаточно общих указаний и конкретных примеров, по которым вполне уверенно достраиваются логико–диалектические аналоги для арифметических операций.

На полученную последовательность—анфиладную последовательность одна в другую врастающих триад—еще нужно наложить объединяющий все шаги и этапы процесс, чтобы картина получилась полной: ведь вся математика, показывает и доказывает А. Ф. Лосев, есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа. Число как первая категория, первая «осмысленная, оформленная по ложенность, категориально оформленная положенность» (105), как «слепительное», напомним, «Да» составляет саму основу математических объектов. Все есть число. Остается только оговорить: ту перво–категорию, тот «акт полагания подвижного покоя самотождественного различия», что пронизывает любые закоулки величественного здания математики, не обязательно называть «числом». Действительно, в угоду пуританской строгости можно окрестить фундаментальную логико–диалектическую конструкцию каким–либо специальным термином, к примеру назвать ее по случаю и в честь А. Ф. Лосева «L–выражением» или же, в более математизированном духе, «L–кортежем» [266] К очевидно-оценочной ассоциации («почетный кортеж») здесь нужно присовокупить профессиональную семантику алгебраистов, кортежем /называющих конечную последовательность элементов некоторого множества, некий набор «букв» из строго фиксированного «алфавита». . Далее придется поступить так, как уже приходилось действовать в области математической логики, т. е. в области формальной, нелосевской метаматематики, причем именно в 30–х годах. В частности, там вместо интуитивно ясного, но строго не определенного понятия «вычислимой функции» стали тщательно изучать свойства так называемых «общерекурсивных функций», определяемых уже алгоритмически точно. Далее было показано, что у вновь введенного формализма достаточно изобразительной мощи, чтобы заместить собой несколько расплывчатое понятие вычислимости. Наконец, между классами содержательных и формальных функций была провозглашена эквивалентность (в форме «тезиса Черча»), — именно провозглашена, а не доказана, поскольку последнее невозможно ввиду принципиально различной природы сравниваемого. Желающим увековечить свое имя в новом «тезисе» можно предложить аналогичную проверку для числа и L–кортежа. Впрочем, изучая «Диалектические основы математики», нетрудно убедиться, что А. Ф. Лосев сам положил много усилий для демонстрации справедливости подобного «тезиса» и повсеместно обнаруживал, как математический материал «с огромной точностью воспроизводит» логико–диалектические прообразы (294).