Алексей Лосев - Хаос и структура

Гильбертовская программа «спасения» классической математики от парадоксов, по определению С. Клини (1967), состоит в следующем: математика «должна быть сформулирована в виде формальной аксиоматической теории, после чего следует доказать ее непротиворечивость, т. е. установить, что в этой формальной аксиоматической теории нельзя доказать противоречие»; доказательства при этом становятся «предметом специальной математической дисциплины, названной Д. Гильбертом метаматематикой, или теорией доказательств» [256] Клини С. К. Математическая логика. М., 1973. С. 232, 233. . Данная программа планировалась к реализации для арифметики, функционального анализа и, в перспективе, геометрии. Над отдельными фрагментами математики старательно возводились ажурные конструкции гильбертовой метаматематики (это оказалось изнурительно трудным занятием), когда подоспели знаменитые теоремы Гёделя. Здесь выяснилось, во–первых, что во всякой математической теории можно сформулировать вполне осмысленное, но недоказуемое и, вместе, неопровержимое утверждение, т. е. внутри всякой такой теории, достаточно богатой содержательно, гарантировано присутствие сомнительной ее составляющей. Потому доказательство непротиворечивости «изнутри» невозможно. Выяснилось, во–вторых, что непротиворечивость данной формальной теории доказывается только в рамках иной, более развернутой формальной теории, та в свою очередь нуждается в новом расширении, и т. д. Потому доказательство непротиворечивости «извне» всегда незавершимо. Таким образом, было строго доказано наличие принципиальных ограничений на строгость доказательств в математике. Это фактически указывало на необходимость выхода за пределы метаматематики (по Гильберту) в объемлющие ее области, причем по двум путям: либо пытаться преодолеть барьер, поставленный результатами Гёделя, за счет отказа от прежнего экстремизма и созданием новых формальных методов и повторного (через них) обращения к проблеме существования математических объектов, либо развивать более содержательную «метаматематику», действительно конструируя такие объекты из некоторых первооснов и уже не прибегая к математическим формализмам. Первым путем и по сей день следуют многие специалисты по основаниям математики [257] Один из последних примеров: в обзорном докладе А. Г. Драгали-на «Состояние работ по основаниям математики» на Смирновских чтениях в Институте философии АН РФ (18 марта 1997 г.) предложено не менее восьми (!) способов изживания «грехов абстракции», связанных с математическими суждениями и объектами, и все восемь—посредством новых абстракций. , по второму пути пошел А. Ф. Лосев и больше, кажется, никто.

Пришла пора уточнить терминологию. Насколько правильно будет связывать «метаматематику» впрямую с именем Лосева? Ведь мы знаем, что сам автор называл свое учение либо, вполне определенно, «диалектическими основами математики» (как в названии основной своей книги по философским вопросам математики), либо, вполне общо, «философией числа» (и этим обозначением мы уже пользовались в предыдущем изложении). Кроме того, термин еще и «занят» под название сугубо математической дисциплины, введенной, как сказано, Д. Гильбертом. И все–таки смысловой пласт этого термина «метаматематика» слишком ценен, чтобы отказываться от него, доверяясь лишь формальным доводам.

Заметим прежде всего, что построения А. Ф. Лосева нигде не расходятся с математическими данными. Автор даже с некоторой (методологически оправданной) назойливостью и монотонностью вновь и вновь показывает, где и как его содержательная аксиоматика, его «основоположения числа» естественно перерастают в аксиомы и теоремы самой математики. Можно сказать, метаматематика А. Ф. Лосева проделывает свой отрезок пути и заканчивает там, где начинает математика, — в изощрениях профессионалов–нефилософов. Логически А. Ф. Лосев оказался раньше, впереди, прежде специалистов по математике и ее основаниям. Исторически имелась уже математика со всеми ее достижениями, принципиальными кризисами, необозримостью тем и предметов, когда явились на свет (точнее, от света, «в стол» А. Ф. Лосева) построения новой метаматематики. Эта ситуация определенно повторяет одну историю, — вспомним происхождение явно родственного «метаматематике» термина. Возник он случайно, когда Андроник Родосский (I в. до Р.Х.), заново упорядочивая и переписывая рукописи Аристотеля, вслед за группой сочинений «о природе» (ta physika) поместил еще группу под условным названием «То, что после физики» (ta meta ta physika). Так наука, «исследующая первые начала и причины» (Met. 982b 10) и самим Аристотелем величаемая «первой философией», стала «метафизикой». То, что в материальном мире занимало локус «после», в мире идей оказалось «до».