Биньямин Файн - Нищета неверия. О мире, открытом Богу и человеку, и о мнимом мире, который развивается сам по себе

Теперь попытаемся понять, что такое логика, почему возможно использовать ее для описания мира и каковы ее ограничения. Очевидно, что для того чтобы понять мир, мы должны знать, каким образом делать заключения относительно разных сторон бытия, как делать заключения из посылок. Получение истинных заключений из истинных посылок и составляет задачу логики. Другими словами, логика – это средство, инструмент для получения правильных заключений. Когда мы будем пользоваться словом доказательство, мы будем иметь в виду логическое доказательство посредством логических правил. Прежде всего я приведу примеры логического вывода, дедукции. Само понятие логикикак искусства получения правильных выводовбыло развито в Древней Греции, в первую очередь в работах Аристотеля, в качестве искусства спора и доказательства. Поэтому и пример мы позаимствуем у греков:

Все люди смертны. Греки – люди. Следовательно, греки смертны.

Здесь из истинной посылки все люди смертнымы выводим истинное заключение о том, что греки смертны. Важно отметить, что истинность заключения, его соответствие действительности проистекает из того факта, что все греки являются людьми, а для людей истинна посылка, согласно которой все они смертны. Если бы мы смогли найти хотя бы одного грека, который не является человеком, доказательство не было бы верным. Выведение заключения, дедукция, имеет силу лишь тогда, когда не существует контрпримеров (counterexample).

Вот пример вывода заключения, который оказывается ошибочным из-за существования контрпримера:

Все люди смертны. Сократ смертен. Следовательно, Сократ – человек.

Обратите внимание: здесь мы имеем истинную посылку: все люди смертны, а также истинное заключение: Сократ – человек, однако сама дедукция ошибочна, поскольку существует контрпример. Допустим, что Сократ – это кличка собаки. Если так, то из нашего рассуждения следует, что эта собака – человек, а это заключение ошибочно. Подобное рассуждение может привести не только к истинному заключению – философ Сократ есть человек, – но также и к ложному – собака по кличке Сократ есть человек. Такое рассуждение не имеет доказательной силы, поскольку, пользуясь им, мы можем прийти и к ошибочным выводам.

Мы устанавливаем истинность вывода, то есть правильность пути получения заключения, лишь в случае, когда не существует ни одного контрпримера, который бы опроверг его, или если возможно доказать, что такого примера не может быть. Два примера рассуждений, которые мы привели выше, – это простейшие примеры. Математика предлагает нам более сложные пути вывода заключения. В основе геометрии лежат несколько базовых положений, называемых аксиомами. Из этих аксиом логическим путем выводится множество следствий: утверждений( теорем). Например: «Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам»; или: «В равностороннем треугольнике все углы равны». Арифметика тоже предоставляет бесчисленное количество заключений, следующих из определенных аксиом.

Логика занимается анализом принципов выведения истинных заключений из определенных посылок, которые также считаются истинными. Считаются, поскольку здесь возникает связь с реальностью. Что я имею в виду? С чисто математической точки зрения истинность, или верность, аксиом гарантируется провозглашениемтого, что они истинны. Странно? Не так уж. На самом деле математические утверждения всегда обусловлены: если аксиомы верны, то можно доказать, что определенный вывод из них тоже верен. Совсем другое дело, если мы заинтересованы в верном описанииреальности и если желаем сделать какие-то заключения именно о ней. Тогда мы должны установить связь между аксиомами логики, или математики, и реальными фактами. На самом деле математика дает нам языкдля описания реальности. Мы уже говорили об этом в главе 2.1.

Что нам сейчас важно – это понять область применения логических доказательств. В сущности, логическое доказательство не создает ничего нового, а только выводит наружу то, что и раньше было в неявном виде скрыто внутри базовых положений. Давайте разберем пример, который мы привели выше: Все люди смертны. Греки – люди. Следовательно, греки смертны. Здесь посылка, все люди смертны, утверждает нечто обо всехлюдях, то есть и о греках, и о римлянах, и о евреях, и о персах и так далее. Это означает, что и информация о грекахв неявной форме там содержалась. И заключение – следовательно, греки смертны– только проясняет то, что и так уже содержалось в посылке. А раз так, то, с одной стороны, логическое доказательство – это нечто надежное и твердое, но с другой стороны, оно не дает ничего нового.