Георгий Рузавин - Логика и аргументация - Учебн. пособие для вузов.

Часто противоречивые высказывания называют также несовместными, потому что из несовместных высказываний логически следует противоречие.

Несовместность (противоречивость) высказываний, которая иногда встречается в рассуждениях, приводит к тому, что в нем оказываются допустимыми как истинные, так и ложные заключения. Именно этим обстоятельством широко пользовались античные софисты, стремившиеся обеспечить себе победу в споре любой ценой, в том числе и путем нарушения законов логики. Очевидно, что для этого они маскировали свои утверждения, ибо в противном случае оппоненты и слушатели всегда могли изобличить их в явных противоречиях. Однако никто не застрахован от противоречий и ошибок, но следует различать ошибки преднамеренные (сознательные) и ошибки не преднамеренные (неосознаваемые). Если первые, которые часто называют софизмами, следует разоблачать, то вторые, именуемые паралогизмами, необходимо исправлять. Но в обоих случаях логика служит надежным инструментом для анализа и раскрытия ошибок, и в особенности определения правильности логического следования заключения из его посылок.

В первом примере ошибочное заключение было связано с недостаточной точностью его словесной формулировки, во втором примере - противоречие было замаскировано другой формой символической записи второй части формулы. Ясно, что если бы противоречие было записано в виде: (х → у) и ¬(x → у), то сразу стало бы видно, что здесь перед нами противоречие, из которого, как теперь мы знаем, следует любое заключение: истинное, ложное и даже абсурдное. Нельзя, однако, считать, что противоречия раскрываются так легко. Как будет показано в гл. 6, противоречия зависят от ряда условий, выполнение которых обязательно для того, чтобы характеризовать их как противоречия, в частности чтобы высказывания, из которых одно отрицает другое, характеризовали предмет мысли в одно и то же время и в одном и том же отношении. С течением времени наши знания изменяются, и поэтому высказывания, которые характеризовали явления, также могут измениться и перестать противоречить друг другу.

Легко заметить, что все рассмотренные выше контрадикторные (противоречащие) высказывания могут быть представлены с помощью общей формулы (А ∧ ¬А), где члены конъюнкции А и ¬А являются выражениями метаязыка, т.е. языка, на котором мы говорим об объектном (предметном) языке. Метаязык служит для представления высказываний, которые выражаются с помощью переменных х 1, х 2, x 3,..., x n. В дальнейшем формулы метаязыка будут применяться всякий раз, когда нам придется говорить о предметном языке, чтобы не загромождать изложение и не выписывать формулы этого языка.

Итак, любые сколь угодно сложные высказывания, которые могут быть представлены в форме конъюнкции утверждения и его отрицания, т.е. как А ∧ ¬А, представляют именно противоречие. Поэтому при любой комбинации входящих в них высказываний по истинностному их значению ("истина" или "ложь") будут приводить к ложному заключению. Другими словами, функция-высказывание, образованное из элементарных высказываний, всегда будет иметь своим значением "ложь". Поскольку из ложного утверждения можно получить как истину, так и ложь, постольку основной закон логики - закон непротиворечия - запрещает использовать противоречивые высказывания или формулы в рассуждении. Этот запрет выражается в требовании непротиворечивости рассуждения, которую часто называют также требованием совместимости (связности) рассуждения.

Если формула (А ∧ ¬А) является всегда ложным высказыванием, то ее отрицание, выражающее требование непротиворечивости, напротив, будет всегда истинным высказыванием, общезначимой формулой, или тавтологией, как стали называть такие высказывания вслед за Л. Витгенштейном. Следует, однако, не смешивать языковые тавтологии с логическими. Если в языке тавтология означает повторение той же фразы или предложения текста, то в логике она является тождественно истинным высказыванием. Не следует также путать тождественно истинные высказывания с законом тождества, который выражается формулой А → А, хотя последняя также выражает тавтологию.

Отсюда становится ясным, что тавтологии (тождественно истинные высказывания) можно использовать для представления всех законов логики или любых общезначимых ее формул. Действительно, закон непротиворечия, запрещающий противоречия в рассуждении, можно выразить формулой ¬(A ∧ ¬A), которая представляет собой тавтологию, в чем можно убедиться, построив для нее соответствующую таблицу истинности (табл. 10). То же самое можно сказать о законе исключенного третьего - (A ∨ ¬A) (табл.11).