Георгий Рузавин - Логика и аргументация - Учебн. пособие для вузов.

Основная задача логики состоит в том, чтобы исследовать, какие следствия вытекают из данных утверждений, например, какие теоремы в математике следуют из принятой системы аксиом. Интуитивно мы можем выводить заключения, не обращаясь к логической символике и технике и даже ясно не сознавая те логические правила, которыми неявно пользуемся. Однако в более трудных случаях интуитивных возможностей оказывается недостаточно, в особенности когда приходится проверять рассуждения и анализировать ошибки. Даже в простейших случаях можно допустить ошибку, как показывает следующий пример.

"Если не будет дождя (¬Д), то он придет на встречу (В)". Пошел дождь, значит он не придет на встречу (¬В). Переведем эту словесную формулировку на логический язык исчисления высказываний и тогда получим формулу:

((¬Д → В) ∧ Д)) → ¬В (1)

Чтобы проверить правильность заключения, построим для него таблицу истинности (табл. 8).

Хотя заключение словесного рассуждения кажется на первый взгляд верным, но оно логически не следует из посылок, в чем можно убедиться, если сравнить значение истинности посылок формулы (1) со значением истинности заключения. Если бы заключение логически следовало из посылок, тогда при одновременной истинности посылок (¬Д → В) в первой строке табл. 8 и Д заключение ¬В в последнем столбце этой же строки должно быть истинным, а оно ложно. Но фундаментальный принцип логики постулирует, что из истинных посылок нельзя вывести ложного заключения. Это и показывает, что рассматриваемое заключение не следует из посылок. Ведь не исключается возможность, что несмотря на дождь, человек может прийти на встречу.

Отсюда становится ясным, что установить логическое следование одного высказывания или формулы из другого можно с помощью построения таблицы истинности всех входящих в формулы простых (элементарных) высказываний, которые называют атомарными (или просто атомами). В противоположность этому сложные (составные) высказывания, построенные с помощью логических связок, рассматривают как молекулярные. Если будет установлено, что при одновременной истинности посылок заключение окажется также истинным, то это дает основание сказать, что данная формула или высказывание логически следует из другой или других, т.е. заключение следует из посылок. В противном случае, как мы видели в предыдущем примере, заключение логически не следует из посылок.

Теперь дадим общее определение логическому следованию в исчислении высказываний. Обозначим через заглавные буквы латинского алфавита молекулярные высказывания А и В, состоящие из атомарных (элементарных) высказываний х 1, х 2, x 3,..., x n. Тогда говорят, что "В следует из А или является следствием А", когда в таблицах истинности для А и В формула В имеет значение "истина" во всех тех строках, где А имеет значение "истина". Символически следование обозначается знаком " | =", например А | = В.

Если из А логически следует В, а из В следует А, т.е. А | = В и В | =А, то в этом случае высказывания А и В будут логически эквивалентными.

Обратимся теперь к другому случаю и определим, например, следует ли формула х ∨ у из формулы (х → у) ∧ (x ∧¬ y). Для этого снова построим таблицу их истинности (табл. 9).

Однако в этой таблице ни в одной строке высказывания х → у и х ∧ ¬у не являются одновременно истинными, а потому их конъюнкция будет ложной. Но импликация из ложного высказывания считается истинной. Можно сказать поэтому, что из рассматриваемой формулы следует не только дизъюнкция х v у, но и любая другая формула. Такой парадоксальный результат объяснить нетрудно. Дело в том, что формула (х → у) ∧ (х ∧ ¬у) представляет собой логическое противоречие, в чем можно убедиться, если выразить ее вторую часть через импликацию, т.е. (х ∧ ¬у) ¬( ↔ x → y). Отсюда непосредственно видно, что второй член конъюнкции является отрицанием первого члена: (х → у) ∧ ¬(х → ¬у).

Такого рода высказывания, в котором одно из них что-то утверждает, а другое одновременно отрицает это, называются контрадикторными (противоречащими). Согласно известному нам закону непротиворечия подобные высказывания недопустимы в рассуждении, ибо из логически противоречивого утверждения следует любое высказывание: истинное или ложное.