Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х = f(x) и применение метода простых итераций х k = s(х k-1) при заданном значении x 0. Приведем пример такого решения:

> f := х ->3*ln(x+1);

> x||0 := 0.5;

> x0 := .5;

> for k from 1 to 16 do x||k := evalf(f(x||(k-1))); od;

Нетрудно заметить, что значения х_k в ходе итераций явно сходятся к некоторому значению. Проведем проверку решения, используя встроенную функцию solve:

> f(x) = х; solve(%, х);

Результат выглядит необычно — помимо довольно очевидного корня х=0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта. Впрочем, нетрудно найти и его численное значение:

> evalf(%);

К нему и стремятся промежуточные результаты решения. Однако как сделать процесс решения достаточно наглядным? Обычно для этого строят графики двух зависимостей — прямой х и кривой f(x) — и наносят на них ступенчатую линии перемещения точки х_k. Специальной функции для графиков подобного рода Maple не имеет. Однако можно составить специальную процедуру для их построения. Ее листинг, взятый из примера, описанного в пакете обучения системе Maple — PowerTools —представлен на рис. 8.60.

Рис. 8.60. Иллюстрация процесса итераций

На рис. 8.60 представлено задание процедуры rec_plot( f1, а, b, х0).

Параметрами этой процедуры являются: f1 — функция f(x): а и b — пределы изменения х при построении графика; х0 — значение х, с которого начинаются итерации. Используя эту процедуру можно наблюдать график, иллюстрирующий итерационный процесс. Он представлен на рис. 8.60 снизу.

Нетрудно заметить, что для данной функции процесс итераций, хотя и не очень быстро, но уверенно сходится к точке пересечения прямой у=х и кривой y=f(x). Вы можете, меняя зависимость f(x), провести исследования сходимости уравнений x=f(x).

Теперь займемся довольно рискованным экспериментом — наблюдением ньютоновских итераций с их представлением на комплексной плоскости. На рис. 8.61 задана функция f(z) комплексного аргумента. Проследить за поведением этой функции на комплексной плоскости в ходе ньютоновских итераций в соответствии с выражением z=f(z) позволяет графическая функция complexplot3d из пакета plots.

Рис. 8.61. Наблюдение за процессом ньютоновских итераций в трехмерном пространстве

Наблюдаемая картина весьма необычна и свидетельствует о далеко не простом ходе итерационного процесса. А рискованной эта задача названа потому, что в предшествующих версиях Maple она нередко вела к «зависанию» компьютера.

Средства Maple 9.5 весьма удобны для визуализации геометрических построений.

Примером наглядного геометрического представления математических понятий является визуализация известной теоремы Пифагора (рис. 8.62).

В этом примере используется функция построения многоугольников. Наглядность построений усиливается выбором разной цветовой окраски треугольников и квадрата.

Рис. 8.62. Графическая иллюстрация к теореме Пифагора