Миран Липовача - Изучай Haskell во имя добра!

Перед тем как перейти к законам, которым должна следовать fmap, давайте ещё раз задумаемся о типе fmap:

fmap :: (a –> b) –> f a –> f b

Если помните, введение в каррированные функции в главе 5 началось с утверждения, что все функции в языке Haskell на самом деле принимают один параметр. Функция a –> b –> cв действительности берёт только один параметр типа a, после чего возвращает функцию b –> c, которая принимает один параметр типа bи возвращает значение типа c. Вот почему вызов функции с недостаточным количеством параметров (её частичное применение) возвращает нам обратно функцию, принимающую несколько параметров, которые мы пропустили (если мы опять воспринимаем функции так, как если бы они принимали несколько параметров). Поэтому a –> b –> cможно записать в виде a –> (b –> c), чтобы сделать каррирование более очевидным.

Аналогичным образом, записав fmap :: (a –> b) –> (f a –> f b), мы можем воспринимать fmapне как функцию, которая принимает одну функцию и значение функтора и возвращает значение функтора, но как функцию, которая принимает функцию и возвращает новую функцию, которая такая же, как и прежняя, за исключением того, что она принимает значение функтора в качестве параметра и возвращает значение функтора в качестве результата. Она принимает функцию типа a –> bи возвращает функцию типа f a –> f b. Это называется «втягивание функции» . Давайте реализуем эту идею, используя команду :tв GHCi:

ghci> :t fmap (*2)

fmap (*2) :: (Num a, Functor f) => f a –> f a

ghci> :t fmap (replicate 3)

fmap (replicate 3) :: (Functor f) => f a –> f [a]

Выражение fmap (*2)– это функция, которая получает функтор fнад числами и возвращает функтор над числами. Таким функтором могут быть список, значение Maybe, Either Stringили что-то другое. Выражение fmap (replicate 3)получит функтор над любым типом и вернёт функтор над списком элементов данного типа. Это становится ещё очевиднее, если мы частично применим, скажем, fmap (++"!"), а затем привяжем её к имени в GHCi.

Вы можете рассматривать fmapдвояко:

• как функцию, которая принимает функцию и значение функтора, а затем отображает это значение функтора с помощью данной функции;

• как функцию, которая принимает функцию и втягивает её в функтор, так чтобы она оперировала значениями функторов.

Обе точки зрения верны.

Тип fmap (replicate 3) :: (Functor f) => f a –> f [a]означает, что функция будет работать с любым функтором. Что именно она будет делать, зависит от функтора. Если мы применим fmap (replicate 3)к списку, будет выбрана реализация fmapдля списка, то есть просто map. Если мы применим её к Maybe a, она применит replicate 3к значению внутри Just. Если это значение равно Nothing, то оно останется равным Nothing. Вот несколько примеров:

ghci> fmap (replicate 3) [1,2,3,4]

[[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3],[4,4,4]]

ghci> fmap (replicate 3) (Just 4)

Just [4,4,4]

ghci> fmap (replicate 3) (Right "ля")

Right ["ля","ля","ля"]

ghci> fmap (replicate 3) Nothing

Nothing

ghci> fmap (replicate 3) (Left "фуу")

Left "фуу"

Предполагается, что все функторы проявляют определённые свойства и поведение. Они должны надёжно вести себя как сущности, которые можно отобразить. Применение функции fmapк функтору должно только отобразить функтор с помощью функции – ничего более. Это поведение описано в законах функторов. Все экземпляры класса Functorдолжны следовать этим двум законам. Язык Haskell не принуждает, чтобы эти законы выполнялись автоматически, поэтому вы должны проверять их сами, когда создаёте функтор. Все экземпляры класса Functorв стандартной библиотеке выполняют эти законы.

Первый закон функторов гласит, что если мы применяем функцию idк значению функтора, то значение функтора, которое мы получим, должно быть таким же, как первоначальное значение функтора. В формализованной записи это выглядит так: fmap id = id. Иными словами, если мы применим fmap idк значению функтора, это должно быть то же самое, что и просто применение функции idк значению. Вспомните, что id– это функция тождества, которая просто возвращает свой параметр неизменным. Она также может быть записана в виде \x –> x. Если воспринимать значение функтора как нечто, что может быть отображено, то закон fmap id = idпредставляется довольно очевидным.