Яков Перельман - Загадки и диковинки в мире чисел

Если спрашивают не о числе недель, а о числе дней, то прибегают к такому приему: половину числа лет множат на 73 и приписывают нуль – результат и будет искомым числом (эта формула станет понятна, если заметить, что 730 = 365 × 2). Если мне 24 года, то число дней получим, умножив 12 × 73 = 876 и приписав нуль – 8760. Само умножение на 73 также производится сокращенным образом, о чем речь впереди (стр. 131).

Поправка в несколько дней, происходящая от високосных лет, обыкновенно в расчет не принимается, хотя ее легко ввести, прибавив к результату четверть числа лет (в нашем примере 24:4 = 6; общий результат, следовательно, 8766).

На этот вопрос [32] также можно довольно быстро ответить, пользуясь следующим приемом: половину числа лет умножают на 63; затем ту же половину множат на 72, результат ставят рядом с первым и приписывают три нуля. Если, например, число лет 24, то для определения числа секунд поступают так:

63 × 12 = 756; 72 × 12 = 864; результат: 756864000.

Указанными ниже приемами ускоренного умножения эти операции облегчаются до чрезвычайности, и миллионный результат получается очень быстро. Советую читателю попробовать произвести то же вычисление и обыкновенным путем, чтобы на деле убедиться, какая экономия во времени получается при пользовании указанной формулой и нижеприведенными приемами.

Как и в предыдущем примере, здесь не приняты в расчет високосные годы – ошибка, которой никто не поставит вычислителю в упрек, когда приходится иметь дело с сотнями миллионов.

Что касается правильности нашей формулы, то она выясняется очень просто. Чтобы определить число секунд, заключающихся в данном числе лет, нужно лета (в нашем примере 24) умножить на число секунд в году, т. е. на 365 × 24 × 60 × 60 = 31536000. Мы делаем то же самое, но только большой множитель 31536 разбиваем на два (приписка трех нулей сама собой понятна). Вместо того, чтобы умножать 24 × 31536, умножают 24 на 31500 и на 36, но и эти действия мы для удобства вычислений заменяем другими, как это видно из следующей схемы:

Теперь остается лишь приписать три нуля – и мы имеем искомый результат: 756864000.

Мы упоминали раньше, что для выполнения тех отдельных действий умножения, на которые распадается каждый из указанных выше приемов, существуют также удобные способы. Некоторые из них весьма не сложны и удобоприменимы; они настолько облегчают вычисления, что мы советуем читателю вообще запомнить их, чтобы пользоваться при обычных расчетах. Таков, например, прием перекрестного умножения, весьма удобный при умножении двузначных чисел. Способ этот восходит к грекам и индусам и в старину назывался «способом молнии» или «умножением крестиком».

Пусть дано перемножить 24 × 32, мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:

Теперь последовательно производим следующие действия:

1) 4 × 2 = 8 – это последняя цифра результата.

2) 2 × 2 = 4; 4 × 3 = 12; 4 + 12 = 16; 6 – предпоследняя цифра результата; 1 запоминаем.

3) 2 × 3 = 6, да еще оставшаяся единица, имеем 7 – это первая цифра результата.

Известны все цифры произведения: 7, 6, 8 – 768.

После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко.

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых дополнений, удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.

множители: 92 и 96 «дополнения»: 8 и 4

Первые две цифры результата получают простым вычитанием из множителя «дополнения» множимого или наоборот; т. е. из 92 вычитают 4 или из 96 – 8. В том и другом случае имеют 88; к этому числу приписывают произведение «дополнений» 8 × 4 = 32. Получают результат 8832.

Что полученный результат верен, наглядно видно из следующих преобразований:

Существует прием и для ускоренного умножения трехзначных чисел; он также сберегает много времени, но применение его сложнее и требует некоторого умственного напряжения, так как приходится одновременно держать в уме несколько цифр.

Умение быстро определять день недели, на какой приходится та или иная дата (например, 17 января 1893 г., 4 сентября 1943 г. и т. п.) основано на поучительном разборе особенностей нашего календаря, который мы сейчас и проделаем.

Первое января 1-го года нашей эры приходилось (как установлено расчетом) на субботу. Так как в каждом простом году 365 дней, или 52 полных недели и 1 день, то год должен кончаться тем же днем недели, каким начался; поэтому последующий год начинается одним днем недели позже, чем предыдущий. Если 1 января 1-го года была суббота, то 1 января 2-го года было днем позже, т. е. воскресенье, 3-го года – на 2 дня позже; а 1 января, например, 1923 года было бы на 1922 дня (1923 – 1) после субботы, – если бы не было ни одного високосного года. Число високосных лет мы найдем, разделив 1923 на 4 = 480; но отсюда, для нового стиля, надо исключить календарную разницу в 13 дней: 480 – 13 = 467. К полученному числу надо прибавить число дней, протекших после 1 января 1923 года до определяемой даты, – скажем для примера, до 14 декабря: это составит 347 дней. Сложив 1922, 467 и 347, мы делим сумму на 7 и по полученному остатку 6 определяем, что 14 декабря 1923 года приходится на 6 дней после субботы, т. е. в пятницу.