Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

Фундаментальными параболическими образами в случае (2n-1)- мерного вещественного симплектического пространства являются точки и m-мерные нуль-плоскости (при m = 1 нуль-прямые). Нуль-прямые вещественного симплектического пространства образуют абсолютный линейный комплекс этого пространства.

Фундаментальные параболические образы комплексных и кватернионных проективных и эрмитовых неевклидовых и симплектических пространств аналогичны параболическим образам вещественных пространств. Параболическими образами конформных и псевдоконформных пространств являются их точки и m-мерные изотропные плоскости, при m = 1 - изотропные прямые.

Фундаментальные параболические образы пространств, фундаментальными грппами которых являются простые группы Ли, изображаются точками диаграмм Дынкина и Сатаке. В последнем случяе черные точки диаграмм Сатаке изображают вещественные образы, белые точки - мнимые образы, а белые точки, соединенные дугами с двумя стрелками, - комплексно сопряженные образы.

Со всяким параболическим образом связано представление фундаментальной группы пространства в виде прямой суммы 2k+1 линейных подпространств J + K+... + L. Подпространства J и L этой прямой суммы являются элластичными алгебрами, определенными И.Л.Кантором. В случае k =1 aлгебры J и L являются йордановыми алгебрами М.А.Джавадов и И.И.Колокольцева доказали, что спонорные предстаавлениягрупп движений неевклидобых пространств изображаются дробно-линейными преобра­зованиями этих йордановых алгебр.

Геометрические интерпретации, связанные с изоморфизмами простых и полупростых групп Ли

Упомянутые выше изоморфизмы простых и полупростых групп Ли ранга 1, 2 и3 определяют изоморфизмы вещественных простых и полупростых групп Ли с теми же рангами. С этими изоморфизмами вещественных групп Ли связаны геометрические интерпретации однородных пространств, фундаментальными группами которых являются эти группы Ли.

1) С локальным изоморфизмом компактных групп классов A1 и B1 связана изометричность комплексной эрмитовой эллиптической прямой линии кривизны 1/r2 и сферы радиуса r/2 3-мерного евклидова пространства.

С локальным изоморфизмом расщепленных групп классов A1 и B1 связана интерпретация О.Гессе плоскости Лобачевского на вещественной проективной прямой, при которой точки проективной прямой изображаются точками абсолюта плоскости Лобачевского, а пара точек проективной прямой - прямыми линиями плоскости Лобачевского.

С локальным изоморфизмом компактной группы класса D2 и прямого произведения двух компактнх групп класса А связана интерпретация А.П.Котельникова многообразия прямых линий 3-мерного вещественного эллиптического пространства на сфере двойного 3-мерного евклидова пространства, при которой пара полярно сопряженных прямых линий эллиптического пространства изображаются 4 точками пересечения сферы двойного пространства с диаметральными прямыми этой сферы.

С локальным изоморфизмом некомпактной группы класса D2 и комплексной группы класса A1 связана интерпретация А.П.Котельникова многообразия прямых линий 3-мерного пространства Лобачевского на сфере 3-мерного комплексного евклидова пространства, при которой прямые линии пространства Лобачевского изображаются парами диаметрально противоположных точек сферы комплексного пространства.

С локальным изоморфизмом некомпактной вещественной группы класса D2 и прямого произведения некомпактной и расщепленной групп класса A1 связана интерпретация Л.В.Румянцевой кватернионной симплектической прямой линии на паре комплексных эрмитовых прямых линий, эллиптической и гиперболической, при которой точки кватернионной прямой линии изображаются парами точек комплексных прямых линий, по одной точке на каждой линии.

С локальным изоморфизмом компактных групп классов B2 и C2 связана изометричность кватернионной эрмитовой эллиптической прямой линии кривизны 1/r2 и сферы радиуса r/2 5-мерного евклидова пространства.

С локальным изоморфизмом расщепленных групп классов B2 и C2 связана интерпретация 4-мерного вещественного псевдоэллиптического пространства индекса 2 в 3-мерном вещественном симплектическом пространстве, при которой 2-мерные плоские образующие абсолюта псевдоэллиптического пространства изображаются нуль-прямыми симплектического пространства.

С локальным изоморфизмом компактных групп классов A3 и D3 cвязана интерпретация Н.Д.Пецко 3-мерного комплексного эрмитова эллиптического пространства в 5-мерном вещественном эллиптическом пространстве при которой точки каждого из этих пространств изображаются паратактическими конгруэнциями прямых линий другого пространства.