Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

Расщепленная простая группа Ли класса Е7 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H' и О'.

Компактная простая группа Ли класса Е8 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е8 с характером -24 локально изоморфна группам движений эрмитовой гиперболической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О и эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр О и О'.

Расщепленная простая группа Ли класса Е8 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О'.

Проективные и неевклидовы пространства над неассоциативными алгебрами не могут иметь размерность больше 2, так как в этом случае теорема Дезарга равносильная ассоциативности алгебры, над которой построено пространство, является следствием аксиом сочетания проективной геометрии.

Вскоре после того как я прочел цикл лекций о геометриях групп Ли в Утрехте Фрейденталь написал мне, что, обсуждая мои лекции с Титсом они пришли к выводу, что мои геометрические интерпретации особых простых групп Ли невозможны, так как размерностей линейных представлений простых групп Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8, определяемых моими интерпретациями, нет в списке линейных представлений этих групп, утановленном Картаном в 1913 г.

Я ответил Фрейденталю, что представления этих групп, определяемые моими интерпретациями, не являются линейными.

Выше я писал, что точки октонионной проективной плоскости можно

определять тремя октонионными координатами, принадлежащими к одному ассоциативному подтелу тела О, и поэтому точки октонионной проективной плоскости можно определять тремя октонионными координатами, находящимися в одном ассоциативном подтеле тела О и заданными с точностью до правого множителя, являющегося элементом того же подтела. Поэтому при проективных преобразованиях октонионной плоскости три координаты xi точек этой плоскости подвергаются некоторому автоморфизму тела О, который переводит их в три октониона f(X|), также принадлежащие к одному ассоциативному подтелу тела О, эти три октониона подвергаются линейному преобразованию с помощью октонионной матрицы 3-го порядка, полученной "проектированием" матрицы группы, представляющей группу проективных преобразований октонионной плоскости, на то подтело, к которому принадлежат октонионы f(Xi).

Движения октонионной эрмитовой эллиптической определяются таким же образом, но матрица третьего преобразующая октонионы f(xi), получается "проектированием" октонионной матрицы 3-го порядка.

Координаты точек 2-мерных эрмитовых эллиптических и гиперболических плоскостей, группы движений которых являются особыми простыми группами Ли рангов 4, 6, 7 и 8, а также сами движения этих групп, определяются аналогично.

Образы симметрии компактных особых простых групп Ли имеют следующий вид.

В 6-мерном G-эллиптическом пространстве имется только один вид образов симметрии - точки.

В октонионной эрмитовой эллиптической плскости имеются два вида образов симметрии - точки и нормальные кватернионные 2-цепи, определяемые аналогично комплексным нормальным n-цепям кватернионного пространства.

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О имеются четыре вида образов симметрии - точки, октонионные нормальные 2-цепи, комплексно -кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от поля C к полю R и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.

плоскости порядка, унитарной

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О имеются также четыре вида образов симметрии - точки, комплексно-октонионные нормальные 2-цепи, кватернионно- кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от тела H к полю C и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи

определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О имеются три вида образов симметрии - точки, кватернионно-октонионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходом от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются таким же переход в обоих сомножителях тензорного произведения.