Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

В неевклидовых пространствах, являющихся метризованными проективными, образами симметрии являются также m-мерные плоскости, при m = 1 прямые линии образующие вместе с плоскостями полярными относительно абсолютов m-пары.

При рассмотрении вещественных и эрмитовых неевклидовых пространств с простыми группами движений я всегда находил образы симметрии этих пространств. Особенно просто это в случае пространст с компактными группами движений, так как инволютивные движения, определяющие образы симметрии этих пространств, определяют также некомпактные группы с той же комплексной формой, что и компактная простая группа Ли. Замечу, что диаграммы Сатаке для некомпактных простых групп Ли первоначально применялись для изучения симметрических римановых пространств с некомпактными простыми группами движений. Эти симметрические пространства допускают интерпретации в виде многообразий образов симметрии неевклидовых пространств с компактными группами движений.

Образами симметрии неевклидовых пространств кроме точек и m- мерых плоскостей являются паратактические конгруенции и n-цепи. Паратактические конгруенции имеют место в (2n + 1)-мерных вещественных эллиптических и комплексных эрмитовых эллиптических пространствах, они состоят из заполняющих все пространство паратактичных прямых, т.е. прямых с равными стационарными расстояниями. Симметриями относительно этих конгруенций в случае вественных пространств являются сдвиги на полупрямую вдоль прямых конгруенции, а в случае комплексных пространст - переходы от точек прямых линий конгруенции к диаметрально противоположным точкам сфер изометричным этим линиям.

Нормаьные n-цепи имеют место в n-мерных комплексных и кватернионных эрмитовых эллиптических пространствах. Эти образы состоят из точек с соответственно вещественными или комплексными координатами или являются фигурами, получяемыми из этих образов движениями пространства. Симметрии относительно нормальных n-цепей определяются переходами от комплексных координат к комплексно сопряженным и от кватернионных координат вида a+bi+cj+dk к координатам вида a+bi-cj-dk. Нормальные n-цепи изометричны, соответственно, n-мерным вещественному эллиптическому и комплексному эрмитову эллиптическому пространствам.

В проективных просранствах имеются также образы косимметрии - гиперквадрики и линейные комплексы прямых, симметриями относительно которых являются полярные преобразования относительно этих образов.

Две m-пары проективного пространства в основном случае обладают m + 1 директрисами - прямыми пересекающими все четыре плоскости m- пар. Директрисы являются геометрическими ковариантами двух m-пар, а двойные отношения точек их пересечения с плоскостями m-пар - числовыми инвариантами n-пар.

Общие перпендикуляры двух m-мерных плоскостей являются директрисами этих плоскостей и их полярных плоскостей, а стационарные расстояния двух m-мерных плоскостей определяются числовыми инвариантами соответственны m-пар.

Параболические образы

В пространствах, группы движений которых - простые группы Ли, я находил параболические образы, определяемые параболическими подгруппами группы движений пространтва, т.е. подгруппами, содержащими максимальную разрешимую подгруппу группы движений, называемую подгруппой А.Бореля. Всякая параболическая подгруппа определяется одним или несколькими простыми корневыми векторами группы Ли. В случае, когда параболическая подгруппа определяется одним простым корневым вектором, пораболический образ называется фундаментальным. Все параболические образы вещественны в случае расщепленных групп, все эти образы мнимы в случае компактных групп. Эти образы могут быть вещественными, мнимыми и комплексно сопряженными в случае некомпактных нерасщепленных групп.

Параболические образы изучались И.М.Гельфандом и его сотрудниками и Хариш-Чандрой в связи с теорией унитарных представлений некомпактных простых групп Ли.

Фундаментальные параболические образы связаны с фундаментальными линейными представлениями простых групп Ли, определенными Э.Картаном в 1913 г. Эти образы изучались Жаком Титсом, который называл их фундаментальными элементами.

Фундаментальными параболическими образами в случае n-мерного вещественного проективного пространства являются m-мерные плоскости (при m=0 точки, при m = 1 прямые линии, при m= n-1 - гиперплоскости).

Фундаментальными параболическими образами в случае 2n-мерных и (2n-1) -мерных вещественных неевклидовых пространств являются m-мерные плоские образующие абсолюта (при m=0 точки, при m = 1 прямолинейные образующие). Плоские образующие максимальной размерности абсолютов этих пространств (n-1) -мерны, эти плоские образующие составляют одно связное семейство в 2n-мерном пространстве и два связных семейства в (2n-1) -мерном пространстве. В последнем случае (n-2) -мерные плоские образующие - параболические образы не являющиеся фундаментальными. Плоские образующие максимальной размерности абсолютов вещественных неевклидовых пространств связаны со спинорными представлениями групп движений этих пространств.