Лев Генденштейн - Алиса в стране математики

— Правильно, — подтвердила Гусеница. — А вот для множеств это не так: можно перемножить два непустых множества и получить пустое множество!

— Конечно, — тут же согласилась Алиса. — Например, наши тигры-лягушки!

— Множества можно не только умножать, — сказала гусеница. — Их можно ещё складывать и вычитать .

— А как это делается? — спросила Алиса. — Нет, я лучше попробую сама! Если множество всех девочек сложить с множеством всех мальчиков, то получится множество всех детей, правильно?

— Я никогда не видела мальчиков, — произнесла Гусеница, — и не знаю, что такое дети. Но если дети состоят только из мальчиков и девочек, то ты права.

— Кажется, я догадываюсь, и как вычитать множества, — сказала Алиса. — Если из множества всех детей вычесть множество всех мальчиков, получится множество всех девочек, правильно?

— Правильно, — подтвердила Гусеница. — А теперь попробуй наоборот: вычти из множества всех девочек множество всех детей — что получится?

— Получится... — задумалась Алиса, — получится пустое множество — ведь нет таких девочек, которые не были бы детьми!

— Как видишь, пустое множество нужно не только для умножения множеств, но и для вычитания, — сказала Гусеница.

— Я вижу, что вычитаются множества тоже не так, как числа, — заметила Алиса. — Для чисел нуль получается только тогда, когда мы вычитаем из числа такое же число!

— Складываются множества тоже не так, как числа, — сказала Гусеница. — Если, например, к числу пять прибавить какое-то число, может получиться снова пять?

— Конечно, нет! — ответила Алиса.

— А если мы прибавим нуль? — прищурившись, спросила Гусеница и выпустила ровно пять клубов дыма.

— Про нуль я забыла, — призналась Алиса. — Но ведь и с множествами так же: если к любому множеству прибавить пустое множество, получится снова то же самое множество!

— Конечно, — согласилась Гусеница. — А как ты думаешь, что получится, если к множеству всех насекомых прибавить множество всех гусениц?

— Получится... получится снова множество всех насекомых! — воскликнула Алиса. — Ведь все гусеницы — насекомые!

— Но разве множество всех гусениц — пустое? — спросила Гусеница. — Ты же сама видишь, что хотя бы одна гусеница существует!

— Я поняла, — сказала Алиса. — К множеству можно прибавить непустое множество, но получить то же самое множество! Значит, множества действительно складываются не так, как числа...

Беседа становилась всё более интересной, но тут Алиса вспомнила, что она может опоздать на бал.

— Извините, — вежливо сказала она, — но я спешу на бал. А вы хотите попасть на бал? Я могу вас пригласить.

— Что мне там делать? — отозвалась Гусеница. — Ведь я не принадлежу множеству тех, кто умеет танцевать!

Сказав это, она сползла с гриба и тут же скрылась в траве.

— Вы так быстро ползаете, что вполне могли бы танцевать медленные танцы! — крикнула Алиса вслед Гусенице, но та не ответила.

Алиса побежала дальше. Постепенно лес начал редеть, и вскоре она выбежала на опушку.

Впереди у самой дороги Алиса увидела маленький домик. Из него доносились какие-то странные звуки — казалось, будто в домике кто-то прыгает по клавишам рояля. Это очень заинтересовало Алису; она подошла к двери домика и увидела медную табличку с надписью «Герцогиня».

— Неужели герцогини так играют на роялях? — удивилась Алиса. — Интересно, как они выглядят? Королей и королев я уже видела, а вот герцогини как-то не попадались!

Алисе очень хотелось зайти к Герцогине, но она боялась, что опоздает на бал. И вдруг она расслышала в домике детский плач: бедный ребёнок пытался перекричать рояль! Алиса открыла дверь и застыла на пороге как вкопанная.

Почти всю комнату занимал огромный рояль. По его клавишам носился галопом Чеширский Кот, аккомпанируя сам себе. На крышке рояля сидела Герцогиня и в такт музыке высоко подбрасывала Младенца, который извивался и визжал в полёте.

— Что вы делаете? — вскричала Алиса, пытаясь перекричать музыку и Младенца.

— Мы его укачиваем, — объяснил Кот, не прерывая своего дикого танца.

— Разве так укачивают? — воскликнула Алиса. — Он сейчас разорвётся от плача!

— Он не плачет, а хохочет, — возразила Герцогиня. И действительно, присмотревшись, Алиса поняла, что Младенец корчится от смеха: всё происходящее ему очень нравилось!

— Всё равно так не укачивают, — сказала Алиса, входя в домик и немного успокаиваясь. — Вы его только разыгрываете!