Лев Генденштейн - Алиса в стране математики

— ... и ещё много чего общего, — согласилась Гусеница, хотя нотки обиды всё ещё сквозили в её голосе.

— Значит, мы с вами вместе принадлежим множеству тех, у кого есть глаза, и множеству тех, кто умеет разговаривать? — спросила Алиса.

— Конечно, — сказала Гусеница. — Но даже если бы у нас с тобой не было совсем ничего общего, всё равно мы принадлежали бы каким-то множествам вместе!

— Каким же? — удивилась Алиса.

— Например, множеству, которое состоит из тебя и меня, — ответила Гусеница.

— Но разве может множество состоять всего из двоих? — спросила Алиса.

— Множество может состоять даже из одного элемента, — отозвалась Гусеница. — Например, ты — единственный элемент множества, которое состоит из одной тебя!

— Я не элемент, а девочка! — обиделась на этот раз Алиса.

— Элементами называют то, из чего состоят множества, — пояснила Гусеница. — Ты — элемент множества девочек, и ещё множества тех, кого зовут Алисой, и ещё... — Гусеница внимательно посмотрела на Алису, — ...множества тех, у кого есть карманы. В это множество, кстати, ты входишь вместе с кенгуру...

— Но я не хочу быть в одном множестве с кенгуру! — перебила Алиса.

— Ты в одном множестве даже с лягушками, — невозмутимо отозвалась Гусеница. — Это, например, множество тех, у кого есть голова...

— Но тогда получается, что я вхожу в любое множество, — рассудила Алиса.

— Не в любое, — сказала Гусеница. — Ты не входишь, например, в множество лягушек...

— Вы же сами только что сказали, что я с ними в одном множестве! — перебила Алиса.

— Даже не в одном , — попыхивая кальяном, произнесла Гусеница. — Ты вместе с лягушками входишь в много разных множеств. Но в само множество лягушек ты не входишь!

— Почему? — спросила Алиса, совсем сбитая с толку.

— Потому что ты не лягушка, — спокойно ответила Гусеница и снова внимательно посмотрела на Алису.

Бедная Алиса даже не могла придумать, как продолжить этот разговор!

— Ещё ты не входишь в множество тех, кто знает всё ! — после недолгого молчания глубокомысленно изрекла Гусеница.

— Но разве кто-нибудь знает всё? — удивилась Алиса.

— Никто! — коротко ответила Гусеница.

— Значит, множества тех, кто знает всё, просто не существует, — сказала Алиса.

— Оно существует, — возразила Гусеница и, помолчав, добавила: — Но это множество пустое .

— Что это значит? — не поняла Алиса.

— Это значит, что в нём нет ни одного элемента, — ответила Гусеница.

— Зачем же нужно такое множество, в котором ничего нет? — удивилась Алиса.

— Без него нельзя было бы, например, умножать одни множества на другие, — спокойно произнесла Гусеница.

— Умножать множества? — воскликнула Алиса. — Но разве это числа?

— Множества не числа, — отозвалась Гусеница. — Поэтому и умножают их иначе. Мы с тобой, кстати, с этого начали!

— Я этого не заметила, — призналась Алиса.

— Ты сказала, что ты девочка, которую зовут Алисой, — напомнила Гусеница. — Так вот: если умножить множество всех девочек на множество всех Алис, то получится множество всех девочек, которых зовут Алисами...

— Я поняла! — воскликнула Алиса. — А если умножить множество всех кошек на множество всех жителей Оксфорда, то получится множество всех кошек, которые живут в Оксфорде, правильно?

— Мне никогда не приходилось бывать в Оксфорде, и я никогда не видела кошек, — сказала Гусеница, — но всё равно я могу подтвердить, что ты права!

— По одной из этих кошек я уже, кажется, соскучилась, — призналась Алиса.

— А что едят кошки? — поинтересовалась Гусеница.

— Гусениц они не трогают, — успокоила её Алиса. — Но я так и не поняла, зачем для умножения множеств нужно пустое множество?

— Попробуй умножить множество всех тигров на множество всех лягушек, — предложила Гусеница..

— Получится... получится множество всех тигров, которые являются лягушками... Но ведь таких нет! — воскликнула Алиса.

— Это и значит, что множество тигров-лягушек — пустое множество, — с довольным видом сказала Гусеница.

— Пустое множество похоже на нуль, — заметила Алиса. — Ведь нуль — это тоже ничто!

— Похоже, — согласилась Гусеница. — Но всё-таки пустое множество — это не нуль.

— Чем же отличается пустое множество от нуля? — заинтересовалась Алиса.

— Скажи — когда при умножении двух чисел получается нуль? — спросила Гусеница.

— Когда хотя бы одно из этих двух чисел равно нулю! — подумав, ответила Алиса.