Лев Генденштейн - Алиса в стране математики

Представьте себе, какая огромная разница между целыми числами и дробными: у любого целого числа есть два ближайших «целых» соседа (целое число, которое на единицу меньше, и целое число, которое на единицу больше), а между любыми дробными числами находится бесконечно много других дробных чисел — ни у одного дробного числа ближайших «дробных» соседей нет! (Не напоминает ли это вам отсутствие последнего момента перед шестью часами?)

А благодаря открытию Пифагора, о котором мы недавно рассказывали, обнаружилось, что существуют числа, которые невозможно записать даже в виде дроби ! Действительно, какой дробью можно представить длину диагонали квадрата со стороной единица, если у диагонали нет никакой общей меры со стороной? Когда сам Пифагор осознал значение своего открытия, он даже испугался (хотя был олимпийским чемпионом по кулачному бою!) и потребовал от своих учеников, чтобы они ни в коем случае не разглашали это открытие. Один ученик ослушался, и, согласно легенде, боги покарали его за это: он погиб во время кораблекрушения.

Страх перед безграничной делимостью длился почти два тысячелетия, и первые подходы к описанию непрерывного движения предприняли только Галилей и Декарт в XVII веке. (Мы уже писали о том, как Галилей открыл закон свободного падения тел). Становилось ясно, что для описания движения нужна совершенно новая математика, в которой возможность безграничной делимости принята за основу.

Создали такую математику в конце XVII века независимо друг от друга двое учёных — англичанин Ньютон и немец Лейбниц (хотя друзьями-то они как раз и не были!). Называется она «дифференциальное и интегральное исчисление» . Справедливость требует сказать ещё, что «почву» для великого немца и великого англичанина подготовили два великих француза — Ферма и Паскаль; в своих работах они подошли вплотную к открытию дифференциального и интегрального исчисления.

Через четверть часа тропинка привела Алису к опушке леса, но прежде чем войти в лес, Алиса остановилась.

— А вдруг там водятся дикие звери? — спросила она себя.

Ответа не последовало, и Алиса задала новый вопрос:

— Может, лучше вернуться?

— Нет, — сразу же ответила себе Алиса. — Во-первых, идти вперёд интересней, чем назад, а во-вторых, как же я узнаю, кто такие Ха-Ха и Ах-Ах!

И Алиса вступила в лес. Она шла и прислушивалась: не слышно ли рычания диких зверей? И вдруг её настороженное ухо уловило звуки человеческого голоса. Или это были два голоса?

Тут лес расступился, и Алиса вышла на большую поляну. Посреди поляны два маленьких толстеньких человечка о чём-то спорили, широко размахивая руками. Человечки были очень похожи и к тому же повторяли движения друг друга.

— Это один человек разговаривает со своим отражением в зеркале! — догадалась Алиса.

Ей захотелось познакомиться со странным человечком, но он был такой маленький, что Алиса боялась его испугать.

— Хорошо бы мне уменьшиться раза в три, — подумала Алиса и... с трудом удержала блюдо, которое стало вдруг величиной с пол-Алисы!

— Я уменьшилась , а блюдо осталось таким же, как было , — сразу поняла Алиса.

Она прислонила блюдо к дереву, отошла на несколько шагов и увидела в блюде себя в полный рост.

— Мы с тобой тоже можем побеседовать, — предложила Алиса своему отражению, и они обе поправили прически. — Ты точно такая же, как я, и поэтому будешь во всём соглашаться со мною. Это, конечно, приятно, но, знаешь, немного скучновато! — Тут Алиса снова посмотрела на странного человечка. — А ведь он-то спорит со своим отражением! Пойду узнаю: о чём они спорят? Отходя от зеркального блюда, Алиса увидела, что её отражение тоже начало отходить куда-то вглубь.