Лев Генденштейн - Алиса в стране математики

Взялся за эту задачу и другой греческий математик — Архит. Он был не только выдающимся математиком, но и хорошим полководцем, однако даже математик-полководец не смог победить задачу об удвоении куба: хотя он и нашёл очень красивое решение, но оно требовало не только циркуля и линейки. К многочисленным заслугам Архита принадлежит, между прочим, и спасение Платона от рабства — как видите, жизнь древнегреческих учёных была не такой уж безмятежной: им приходилось не только прогуливаться с учениками по садам!

Второй из этих кубов имеет примерно вдвое больший объем , чем первый: если бы это были сосуды для воды, то во второй из них поместилось бы воды вдвое больше, чем в первый

Примерно в то же время (в IV веке до нашей эры) «удвоением куба» занимался ещё один древнегреческий математик — Менехм. О нём существует красивая легенда. Однажды Александр Македонский обратился к Менехму:

— Я хочу изучить всю премудрость греческой науки. Но скажи: нет ли для царей более короткого пути к геометрии?

— К геометрии нет царских путей, — ответил царю учёный. — Для всех — одна дорога!

Эта беседа настолько замечательна, что её приписывают ещё одному царю и ещё одному учёному: царю Птолемею и математику Евклиду, который действительно собрал «всю премудрость греческой науки» в большую книгу, которую он назвал «Начала» (Евклид уже тогда понимал, что это только начало , однако до сих пор в школах всего мира геометрию изучают почти по Евклиду!).

Среди греческих учёных, занимавшихся задачей об удвоении куба, был и Эратосфен, который первым придумал, как «отсеивать» простые числа от составных. Этот способ называется «решето Эратосфена» и используется до сих пор, хотя вычисления проводятся сегодня на электронно-вычислительных машинах. Эратосфен, кстати, был не только превосходным математиком, но и неплохим спортсменом — олимпийским чемпионом по пятиборью! Но и олимпийский чемпион не смог решить задачу об удвоении куба.

Эта задача «дразнила» математиков больше двух тысяч лет, и, наконец, Декарт заподозрил неладное: употребив сам немало сил на безуспешные попытки «удвоения куба», он предположил, что эта «простая» задача вообще не имеет решения. Однако только через два века после Декарта другой французский математик, Ванцель, смог строго доказать, что задача об удвоении куба действительно неразрешима! Как и в задаче о квадратуре круга, безупречное доказательство отсутствия решения и стало настоящим решением задачи.

Третьей знаменитой задачей древности была задача о «трисекции угла» : как с помощью циркуля и линейки разделить любой угол на три равные части? Эта задача продержалась также больше двух тысячелетий и «победил» её тот же самый Ванцель — доказал, что она неразрешима.

Этот угол разделен примерно на три равные части

«Три знаменитые задачи древности» стали знаменитыми не только потому, что каждая из них оказалась крепким орешком: они сослужили добрую службу математике, потому что при попытках их решения рождались новые области этой науки.

А сейчас мы расскажем о задаче, отсутствие решения у которой изменило весь ход развития математики.

Вот эта задача: как измерить точно длину любого отрезка?

Начать, конечно, надо с выбора «единицы измерения», то есть отрезка, длина которого принята за единицу . А потом надо откладывать эту «единицу» вдоль того отрезка, который мы хотим измерить. Если, например, единичный отрезок умещается в нашем отрезке ровно три раза, мы говорим, что длина отрезка равна трём единицам.

А если три «единицы» не умещаются, а двух — мало? Ничего страшного: надо только вспомнить о дробных числах! Разделим нашу «единицу» на равные части и возьмём новую меру — часть единицы. А поскольку единичный отрезок можно делить на любое число равных частей, то, казалось бы, всегда можно найти такую малую долю единицы, которая умещалась бы на нашем отрезке целое число раз.

По крайней мере так казалось древним грекам. Более того, они были в этом совершенно уверены! Ведь они считали, что целые числа лежат в основе всего мироздания — помните слова Пифагора: «число есть начало всех вещей»?