Сергей Гашков - Примени математику

1.1. Сумма цифрТребуется сложить много однозначных чисел. Как облегчить эту работу и быстрее получить правильный ответ?

1.2. Сложение большого количества двузначных чиселПроделайте следующий эксперимент: откройте книгу на произвольной странице дальше 10-й и запишите число, составленное из двух последних цифр номера страницы. Открывая книгу много раз (скажем, ?0) и беря числа попеременно то с правой, то с левой стороны книги, вы получите большой набор двузначных чисел. Попробуйте быстро найти их сумму.

Какие приемы позволяют упростить эту работу?

1.3. Необычные записи

Рис. 1

На рис. 1 приведены любопытные способы записи операций сложения и умножения многозначных чисел. Разберитесь в этих способах.

1.4. Таблица умножения на пальцахЕсли вы хорошо знаете таблицу умножения чисел, меньших 5, но почему-то неуверенно себя чувствуете при умножении однозначных чисел, больших 5, то вы можете контролировать себя с помощью пальцев следующим образом. Пусть надо перемножить числа 6 и 7. Загнем на одной руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5 (в нашем случае 6-5 = 1 палец), а на другой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5 (в нашем случае 7-5 = 2 пальца). Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества незагнутых пальцев, то получится соответственно число десятков 1+2 = 3 и число единиц 4*3 = 12 , а сумма 30 + 12 = 42 как раз и будет равна произведению 6*7 .

Дайте обоснование предложенному способу умножения;

1.5. Умножение на 9 с помощью пальцевЭтот способ настолько прост, что его может освоить любой ребенок, знакомый лишь с элементарным счетом. Пусть нужно умножить 6 на 9. Положив обе руки на стол, приподнимем шестой палец, считая слева направо. Тогда количество пальцев слева от поднятого укажет цифру десятков (в нашем случае 5), а количество пальцев справа от поднятого укажет цифру единиц (равную 4), т, е. искомое произведение будет равно 54.

Объясните, почему предложенный способ дает правильный ответ при умножении любого однозначного числа на 9.

1.6. Вычитание вместо умноженияУмножение некоторого числа на 9 можно свести к вычитанию двух чисел. Подумайте, каких. Предложите аналогичный способ умножения чисел на 99, на 999, на числа, близкие к числам 10, 100, 1000 и т. д.

1.7. Быстрое делениеДеление числа 63 475 на 999 было произведено следующим образом:

63 475 = 63*1000 + 475 = 63*999 + 63 + 475 = 63*999 + 538,откуда частное равно 63, а остаток 538.

Используя аналогичные преобразования, разделите число 63 475 с остатком на 99, на 98 и на 102.

1.8. Умножение и деление на 5Трудно не согласиться с тем, что разделить произвольное число на 2 в уме легче, чем умножить его на 5. Нельзя ли воспользоваться этим обстоятельством, чтобы облегчить умножение чисел на 5? Что вы можете предложить вместо деления на 5?

1.9. Умножение и деление на степень пятеркиАналогично умножению или делению на 5 (см. задачу 1.8) можно сравнительно легко в уме умножать или делить числа на 25 и на 125. Как именно?

1.10. С помощью обыкновенных дробейПредложите способы быстрого умножения на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75 (а также на 15 и на 75), использующие представление десятичных дробей в виде обыкновенных.

1.11. Способ удвоенияПри умножении чисел на степень двойки иногда используется способ, суть которого можно продемонстрировать на следующем примере:

139*32 = 278*16 = 556*8 = 1112*4 = 2224*2 = 4448,Как видоизменить этот способ для умножения на число, близкое к степени, двойки, скажем на 14 или на 35?

1.12. Деление на степень двойкиПредложите способ деления чисел на степень двойки, подобный способу удвоения (см. задачу 1.11).

1.13. Умножение чисел второго десяткаДля того чтобы перемножить два двузначных числа, меньших 20, достаточно сложить цифры единиц этих чисел и, увеличив сумму в 10 раз, прибавить к ней 100 и произведение тех же цифр.

Дайте обоснование предложенному способу.

1.14. Умножение чисел десятого десяткаДля того чтобы перемножить два двузначных числа, близких к 100, достаточно вычесть из одного числа дополнение второго до 100 и, увеличив разность в 100 раз, прибавить к ней произведение дополнений исходных чисел до 100. Например, верны выкладки

93*98 = (93-2)100 + 2*7 = 9114.Дайте обоснование предложенному способу.