Feynmann - Feynmann 6

Теперь мы хотим сформулировать тот закон, которым в кван­товой механике заменяется закон силы F=qvXВ. Этот закон будет определять собой поведение квантовомеханических ча­стиц в электромагнитном поле. Раз все происходящее опреде­ляется амплитудами, то закон должен будет объяснить, как сказывается на амплитудах влияние магнитного поля; с уско­рениями же частиц мы больше никакого дела иметь не будем. Закон этот состоит в следующем: фазу, с какой амплитуда до­стигает детектора, двигаясь по какой-то траектории, присут­ствие магнитного поля меняет на величину, равную интегралу от векторного потенциала вдоль этой траектории, умноженному на отношение заряда частицы к постоянной Планка. То есть

Если бы магнитного поля не было, то наблюдалась бы какая-то определенная фаза прибытия. Если же где-то появляется маг­нитное поле, то фаза прибытия возрастает на величину инте­грала в (15.29).

Хотя для наших теперешних рассуждений в этом нет необ­ходимости, заметим все же, что влияние электростатического поля тоже выражается в изменении фазы, равном интегралу по времени от скалярного потенциала j со знаком минус :

Эти два выражения справедливы лишь для статических полей, но, объединив их, мы получим правильный результат для любого, статического или динамического, электромаг­нитного поля. Именно этот закон и заменяет собой формулу F= q (E+vXВ). Мы сейчас, однако, будем говорить только о статическом магнитном поле.

Положим, что опыт с двумя щелями проводится в магнитном поле. Мы хотим узнать, с какой фазой достигают экрана две волны, пути которых пролегают через две разные щели. Их интерференция определяет то место, где окажется максимум вероятности. Фазу волны, бегущей по траектории (1), мы назо­вем Ф 1;а через Ф 1 (В = 0) обозначим фазу, когда магнитного поля нет. Тогда после включения поля фаза достигает величины

(15.30)

Аналогично, фаза для траектории (2) равна

(15.31)

Интерференция волн в детекторе зависит от разности фаз

Разность фаз в отсутствие поля мы обозначим d (В = 0); это та самая разность, которую мы подсчитали в уравнении (15.28). Кроме того, мы замечаем, что из двух интегралов можно сделать один, идущий вперед по пути (1), а назад — по пути (2); этот замкнутый путь будет обозначаться (1—2). Так что получается

(15.33)

Это уравнение сообщает нам, как под действием магнитного поля изменяется движение электрона; с его помощью мы мо­жем найти новые положения максимумов и минимумов интен­сивности.

Прежде чем сделать это, мы хотим, однако, поставить один интересный и важный вопрос. Вы помните, что в вектор-потен­циальной функции есть некоторый произвол. Две разные век­тор-потенциальные функции А и А', отличающиеся на гра­диент Сy некоторой скалярной функции, представляют одно и то же магнитное поле (потому что ротор градиента равен нулю). Они поэтому приводят к одной и той же классической силе qvX В. Если в квантовой механике все эффекты зависят от векторного потенциала, то какая из многих возможных А-функций правильна?

Ответ состоит в том, что в квантовой механике продолжает существовать тот же произвол в А. Если в уравнении (15.33) мы заменим А на А' = А+Сy, то интеграл от А пре­вратится в

Интеграл от Сy вычисляется по замкнутому пути (1—2); но интеграл от касательной составляющей градиента по замкну­тому пути всегда равен нулю (по теореме Стокса). Поэтому как А, так и А' приводят к одним и тем же разностям фаз и к од­ним и тем же квантовомеханическим эффектам интерференции. И в классической, и в квантовой теории важен только ротор 4; любая функция А, у которой ротор такой, как надо, приводит к правильной теории.